Принцип Гарнака

Принцип Гарнака (вторая теорема Гарнака) — теорема о свойствах монотонной последовательности гармонических в ограниченной области функций, распространяющая сходимость в некоторой точке на сходимость во всей области. Установлена немецким математиком Акселем Гарнаком в 1886 году.

Формально, пусть $v_n(z)$$v_{n}(z)$ — положительные гармонические в некоторой области $D$$D$ функции; если ряд:

$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{v}_n(z)$$\sum _{n=1}^{\infty }v_{n}(z)$

сходится хотя бы в одной точке области $D$$D$, то он равномерно сходится внутри $D$$D$.

ДоказательствоПравить

Пусть $K$$K$  — круг с центром в $z_0$$z_{0}$  и радиусом $R$$R$ , лежащий в $D$$D$ . Умножая неравенство $\frac{R^2-<!--\; -\; -->r^2}{R^2-<!--\; -\; -->2Rr\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})+r^2}\le <!--\; \le \; -->\frac{R+r}{R-<!--\; -\; -->r}$${\frac {R^{2}-r^{2}}{R^{2}-2Rr\cos(\alpha -\phi )+r^{2}}}\leq {\frac {R+r}{R-r}}$ , где $0\leq r<R$ , на $\frac{1}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{v}_n(z_0+R{e}^{i\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}})$${\frac {1}{2\pi }}v_{{n}}(z_{{0}}+Re^{{i\alpha }})$ , и интегрируя по $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  в пределах от $-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$-\pi$  до $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ , получим $v_n(z_0+R{e}^{i\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}})\le <!--\; \le \; -->\frac{R+r}{R-<!--\; -\; -->r}{v}_n(z_0)$$v_{{n}}(z_{{0}}+Re^{{i\alpha }})\leq {\frac {R+r}{R-r}}v_{{n}}(z_{{0}})$ , откуда следует, что если в точке $z_0$$z_{0}$  ряд $\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{v}_n(z)$$\sum _{{1}}^{\infty }v_{{n}}(z)$  сходится, то он сходится в каждой точке внутри $K$$K$ . Пусть $K_1,K_2,...,K_m$$K_{{1}},K_{{2}},...,K_{{m}}$  — цепочка кругов, лежащих в $D$$D$  и таких, что точка сходимости $z_0$$z_{0}$  есть центр круга $K_1$$K_{1}$ , центр каждого $K_{{j}}(1<j\leq m)$  лежит внутри $K_{j-<!--\; -\; -->1}$$K_{{j-1}}$ , $Z$$Z$  лежит внутри $K_m$$K_{m}$ , где $Z$$Z$  — произвольно выбранная точка в $D$$D$ . В точке $Z$$Z$  в силу изложенного ряд $\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{v}_n$$\sum _{{1}}^{\infty }v_{{n}}$  оказывается сходящимся, но $Z$$Z$  — любая точка в $D$$D$ , следовательно, ряд $\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{v}_n$$\sum _{{1}}^{\infty }v_{{n}}$  сходится в области $D$$D$ . Пусть $K$$K$  — произвольный круг с центром $z_1$$z_{1}$  и радиусом $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$$\rho$ , лежащий в $D$$D$ , $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{K}$$\overline {K}$  — концентрический круг большего радиуса $R$$R$ , также лежащий в $D$$D$ . Умножая неравенство $\frac{R^2-<!--\; -\; -->r^2}{R^2-<!--\; -\; -->2Rr\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})+r^2}\le <!--\; \le \; -->\frac{R+\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}{R-<!--\; -\; -->\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}$${\frac {R^{2}-r^{2}}{R^{2}-2Rr\cos(\alpha -\phi )+r^{2}}}\leq {\frac {R+\rho }{R-\rho }}$ , где $0\leq r<\rho$ , на $\frac{1}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{v}_n(z_1+R{e}^{i\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}})$${\frac {1}{2\pi }}v_{{n}}(z_{{1}}+Re^{{i\alpha }})$ , и интегрируя по $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  в пределах от $-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$-\pi$  до $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ , получим $v_n(z_1+R{e}^{i\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}})\le <!--\; \le \; -->\frac{R+\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}{R-<!--\; -\; -->\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}{v}_n(z_1)$$v_{{n}}(z_{{1}}+Re^{{i\alpha }})\leq {\frac {R+\rho }{R-\rho }}v_{{n}}(z_{{1}})$  при $0\leq r<\rho$ , следовательно, ряд $\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{v}_n(z)$$\sum _{{1}}^{\infty }v_{{n}}(z)$  мажорируется на круге $K$$K$  числовым сходящимя рядом $\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{R+\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}{R-<!--\; -\; -->\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}{v}_n(z_1)$$\sum _{{1}}^{\infty }{\frac {R+\rho }{R-\rho }}v_{{n}}(z_{{1}})$  и, следовательно, равномерно сходится на $K$$K$ , но $K$$K$  — любой круг в $D$$D$ , следовательно, ряд $\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{v}_n(z)$$\sum _{{1}}^{\infty }v_{{n}}(z)$  равномерно сходится внутри $D$$D$ .

СледствиеПравить

Если возрастающая или убывающая последовательность гармонических функций в некоторой области $D$$D$  сходится по крайней мере в одной точке этой области, то она равномерно сходится внутри $D$$D$ .

ЛитератураПравить

• Романовский П. И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа. М., Наука, 1980, 336 с., тир. 28000 экз.