Преобразование последовательностей

Преобразование последовательностей — оператор, действующий на пространстве последовательностей  (англ.) (рус.. Преобразование последовательностей включает в себя такие понятия, как свёртка одной последовательности с другой, их суммирование и биномиальные преобразования, а также преобразования Мёбиуса и Стрилинга  (англ.) (рус.. Преобразования последовательности могут использоваться для ускорения сходимости ряда.

ОпределениеПравить

Пусть дана последовательность $S=\{s_n{\}}_{n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}}.$$S=\{s_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }.$  Её преобразование обозначается $\mathbf{T}(S)=S^{\prime }=\{s_n^{\prime }{\}}_{n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}},$$\mathbf {T} (S)=S'=\{s'_{n}\}_{n\in \mathbb {N} },$  где

$s_n^{\prime }=T(s_n,s_{n+1},\dots <!--\; \dots \; -->,s_{n+k}),$$s_{n}'=T(s_{n},s_{n+1},\dots ,s_{n+k}),$ 

причём и $s_n$$s_{n}$ , и $s_n^{\prime }$$s'_{n}$  являются либо вещественными, либо комплексными числами. Также можно в общем случае считать их элементами векторного пространства.

Преобразованная последовательность $s_n^{\prime }$$s'_{n}$  сходится быстрее, чем $s_n$$s_{n}$ , если

$\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\frac{s_n^{\prime }-<!--\; -\; -->\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}{s_n-<!--\; -\; -->\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}=0,$$\lim _{n\to \infty }{\frac {s'_{n}-\ell }{s_{n}-\ell }}=0,$ 

где

$\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}$$\ell$  — предел сходящейся последовательности $S$$S$ .

Если отображение $T(s)$$T(s)$  линейно по каждому своему аргументу, то есть если

$s_n^{\prime }=\underset{m=0}{\overset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{c}_m{s}_{n+m},$$s'_{n}=\sum _{m=0}^{k}c_{m}s_{n+m},$ 

для некоторых констант $c_0,\cdots <!--\; \cdots \; -->,c_k$$c_{0},\cdots ,c_{k}$ , то преобразование $T(s)$$T(s)$  называется линейным преобразованием последовательности. Если это условие не соблюдается, то преобразование называется нелинейным.

ПримерыПравить

• Биномиальные преобразования;
• преобразования Мёбиуса;
• преобразования Шанка  (англ.) (рус.;
• Дельта-квадрат преобразование Айткена  (англ.) (рус..

ЛитератураПравить

• Hugh J. Hamilton, "Mertens' Theorem and Sequence Transformations", AMS (1947)
• Воробьев Н. Н. Теория рядов. — М.: Наука, 1986. — 408 с.

СсылкиПравить

• Transformations of Integer Sequences Архивная копия от 20 февраля 2013 на Wayback Machine, a subpage of the On-Line Encyclopedia of Integer Sequences