Представление алгебры Ли

Представлением алгебры Ли (точнее, линейным представлением алгебры Ли) называется гомоморфизм из алгебры Ли $L$$L$ в полную линейную алгебру преобразований некоторого векторного пространства $V$$V$

$\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}:<!--\; :\; -->L\to <!--\; \to \; -->\mathfrak{g}\mathfrak{l}(V)$$\varphi\colon L\to \mathfrak{gl}(V)$.

Под гомоморфизмом алгебр Ли подразумевается такое отображение, что $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}([x,y])=[\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x),\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(y)]$$\varphi([x,y])=[\varphi(x),\varphi(y)]$ для любых $x,y\in <!--\; \in \; -->L$$x,y\in L$. При этом алгебра Ли $L$$L$ и векторное пространство $V$$V$ должны быть над одним и тем же полем $K$$K$.

Примеры представлений алгебр ЛиПравить

Важным примером представления является присоединённое представление алгебры Ли $\mathrm{a}\mathrm{d}:<!--\; :\; -->L\to <!--\; \to \; -->\mathfrak{g}\mathfrak{l}(L)$$\mathrm{ad}\colon L\to\mathfrak{gl}(L)$ . Это представление сопоставляет элементу $x\in <!--\; \in \; -->L$$x\in L$  оператор $\mathrm{a}\mathrm{d}x$$\mathrm{ad}\;x$ , действующий на элементы из $L$$L$  по правилу $\mathrm{a}\mathrm{d}x(y)=[x,y]$$\mathrm{ad}\;x(y)=[x,y]$ .

См. такжеПравить

Представление группы

ЛитератураПравить

• Хамфрис Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений — М. МЦНМО, 2003