Предельные теоремы Сегё

Предельные теоремы Сегё — группа результатов, описывающих асимптотическое поведение детерминантов больших теплицевых матриц, впервые установленная Габором Сегё.

В рамках предельных теорем рассматривается функция $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}:<!--\; :\; -->T\to <!--\; \to \; -->\mathbb{C}$$\varphi \colon T\to \mathbb {C}$, заданная на единичной окружности комплексной плоскости, и тёплицева матрица $T_n(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})$$T_{n}(\varphi )$ размера $n\times <!--\; \times \; -->n$$n\times n$, определённая как:

$T_n(\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}{)}_{k,l}=\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}(k-<!--\; -\; -->l),0⩽<!--\; ⩽\; -->k,l⩽<!--\; ⩽\; -->n-<!--\; -\; -->1$$T_{n}(\phi )_{k,l}={\widehat {\phi }}(k-l),\quad 0\leqslant k,l\leqslant n-1$,

где

$\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}(k)=\frac{1}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}_0^{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(e^{i\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}})e^{-<!--\; -\; -->ik\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}d\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$${\widehat {\phi }}(k)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\phi (e^{i\theta })e^{-ik\theta }\,d\theta$

являются коэффициентами Фурье функции $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$.

Первая теорема Сегё утверждает, что при $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}>0$$\varphi >0$ и $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\in <!--\; \in \; -->L_1(T)$$\varphi \in L_{1}(T)$ справедливо:

$\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\frac{det{T}_n(\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})}{det{T}_{n-<!--\; -\; -->1}(\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})}=\exp <!--\; \; -->\left\{\frac{1}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}_0^{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\log <!--\; \; -->\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(e^{i\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}})d\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\right\}.$$\lim _{n\to \infty }{\frac {\det T_{n}(\phi )}{\det T_{n-1}(\phi )}}=\exp \left\{{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log \phi (e^{i\theta })\,d\theta \right\}.$

Правая часть является геометрическим средним функции $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$(которое определено в силу соотношения между геометрическим и арифметическим средними; обозначается через $G(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})$$G(\varphi )$).

Вторая теорема Сегё (строгая теорема Сегё) утверждает, что если дополнительно потребовать, чтобы производная $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$ была гёльдеровой функцией порядка $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}>0$$\alpha >0$, то справедливо:

$\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\frac{det{T}_n(\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})}{G^n(\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})}=\exp <!--\; \; -->\left\{\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}k{\left|\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{(\log <!--\; \; -->\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})}(k)\right|}^2\right\}.$$\lim _{n\to \infty }{\frac {\det T_{n}(\phi )}{G^{n}(\phi )}}=\exp \left\{\sum _{k=1}^{\infty }k\left|{\widehat {(\log \phi )}}(k)\right|^{2}\right\}.$