Односторонний предел

Односторо́нний преде́л в математическом анализе — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторо́нним преде́лом (или преде́лом сле́ва) и правосторо́нним преде́лом (преде́лом спра́ва).

ОпределенияПравить

Пусть на некотором числовом множестве $M\subset <!--\; \subset \; -->\mathbb{R}$$M\subset \mathbb {R}$  задана числовая функция $f:<!--\; :\; -->M\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$f\colon M\to \mathbb{R}$  и число $a$$a$  — предельная точка области определения $M$$M$ . Существуют различные определения для односторонних пределов функции $f\left(x\right)$$f \left( x \right)$  в точке $a$$a$ , но все они эквивалентны.

Односторонний предел по ГейнеПравить

• Число $A\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}$$A\in \mathbb{R}$  называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции $f\left(x\right)$$f \left( x \right)$  в точке $a$$a$ , если для всякой последовательности ${\left\{x_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty}$ , состоящей из точек, больших числа $a$$a$ , которая сама сходится к числу $a$$a$ , соответствующая последовательность значений функции ${\left\{f\left(x_n\right)\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$\left\{ f \left( x_n \right) \right\}_{n = 1}^{\infty}$  сходится к числу $A$$A$ .

  $\underset{x\to <!--\; \to \; -->a+}{lim}f\left(x\right)=A\iff <!--\; \iff \; -->\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}{\left\{x_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}:<!--\; :\; -->\left(\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}k\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->x_k>a\right)\wedge <!--\; \wedge \; -->\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{x}_n=a\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{\left\{f\left(x_n\right)\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}=A$$\lim _{x\to a+}f\left(x\right)=A\Leftrightarrow \forall \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }\colon \left(\forall k\in \mathbb {N} \Rightarrow x_{k}>a\right)\land \lim _{n\to \infty }x_{n}=a\Rightarrow \lim _{n\to \infty }\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }=A$ 

• Число $A\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}$$A\in \mathbb{R}$  называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции $f\left(x\right)$$f \left( x \right)$  в точке $a$$a$ , если для всякой последовательности ${\left\{x_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty}$ , состоящей из точек, меньших числа $a$$a$ , которая сама сходится к числу $a$$a$ , соответствующая последовательность значений функции ${\left\{f\left(x_n\right)\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$\left\{ f \left( x_n \right) \right\}_{n = 1}^{\infty}$  сходится к числу $A$$A$ .

  $\lim _{x\to a-}f\left(x\right)=A\Leftrightarrow \forall \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }\colon \left(\forall k\in \mathbb {N} \Rightarrow x_{k}<a\right)\land \lim _{n\to \infty }x_{n}=a\Rightarrow \lim _{n\to \infty }\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }=A$ 

Односторонний предел по КошиПравить

• Число $A\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}$$A\in \mathbb{R}$  называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции $f\left(x\right)$$f \left( x \right)$  в точке $a$$a$ , если для всякого положительного числа $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$\varepsilon$  отыщется отвечающее ему положительное число $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}$$\delta$  такое, что для всех точек $x$$x$  из интервала $\left(a,a+\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\right)$$\left(a,a+\delta \right)$  справедливо неравенство $\left| f \left( x \right) - A \right| < \varepsilon$ .

  $\lim _{x\to a+}f\left(x\right)=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0~\exists \delta =\delta \left(\varepsilon \right)>0\colon ~\forall x\in \left(a,a+\delta \right)\Rightarrow \left|f\left(x\right)-A\right|<\varepsilon$ 

• Число $A\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}$$A\in \mathbb{R}$  называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции $f\left(x\right)$$f \left( x \right)$  в точке $a$$a$ , если для всякого положительного числа $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$\varepsilon$  отыщется отвечающее ему положительное число $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}$$\delta$ , такое, что для всех точек $x$$x$  из интервала $\left(a-<!--\; -\; -->\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->},a\right)$$\left(a-\delta ,a\right)$  справедливо неравенство $\left| f \left( x \right) - A \right| < \varepsilon$ .

  $\lim _{x\to a-}f\left(x\right)=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0~\exists \delta =\delta \left(\varepsilon \right)>0\colon ~\forall x\in \left(a-\delta ,a\right)\Rightarrow \left|f\left(x\right)-A\right|<\varepsilon$ 

Односторонний предел как предел вдоль фильтраПравить

Односторонний предел является частным случаем общего понятия предела функции вдоль фильтра. Пусть $M\subset <!--\; \subset \; -->\mathbb{R},$$M\subset {\mathbb {R}},$  и $a\in <!--\; \in \; -->M^{\prime }.$$a \in M'.$  Тогда системы множеств

${\mathfrak{B}}_{+}=\{(a,a+\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->})\cap <!--\; \cap \; -->M\mid <!--\; \mid \; -->\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}>0\}$${\mathfrak {B}}_{+}=\{(a,a+\delta )\cap M\mid \delta >0\}$ 

и

${\mathfrak{B}}_{-<!--\; -\; -->}=\{(a-<!--\; -\; -->\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->},a)\cap <!--\; \cap \; -->M\mid <!--\; \mid \; -->\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}>0\}$${\mathfrak {B}}_{-}=\{(a-\delta ,a)\cap M\mid \delta >0\}$ 

являются фильтрами. Пределы вдоль этих фильтров совпадают с соответствующими односторонними пределами:

$\underset{{\mathfrak{B}}_{+}}{lim}f(x)\equiv <!--\; \equiv \; -->\underset{x\to <!--\; \to \; -->a+}{lim}f(x);$$\lim \limits _{{{\mathfrak {B}}_{+}}}f(x)\equiv \lim \limits _{{x\to a+}}f(x);$ 

$\underset{{\mathfrak{B}}_{-<!--\; -\; -->}}{lim}f(x)\equiv <!--\; \equiv \; -->\underset{x\to <!--\; \to \; -->a-<!--\; -\; -->}{lim}f(x).$$\lim \limits _{{{\mathfrak {B}}_{-}}}f(x)\equiv \lim \limits _{{x\to a-}}f(x).$ 

ОбозначенияПравить

• Правосторонний предел принято обозначать любым из нижеследующих способов:

  $\underset{x\to <!--\; \to \; -->a+}{lim}f(x),\underset{x\to <!--\; \to \; -->a+0}{lim}f(x),\underset{x\downarrow <!--\; \downarrow \; -->a}{lim}f(x),\underset{x\searrow <!--\; \searrow \; -->a}{lim}f(x);$$\lim \limits _{{x\to a+}}f(x),\ \ \lim \limits _{{x\to a+0}}f(x),\ \ \lim _{{x\downarrow a}}f(x),\ \ \lim _{{x\searrow a}}f(x);$ 

• Аналогичным образом для левосторонних пределов приняты обозначения:

  $\underset{x\to <!--\; \to \; -->a-<!--\; -\; -->}{lim}f(x),\underset{x\to <!--\; \to \; -->a-<!--\; -\; -->0}{lim}f(x),\underset{x\uparrow <!--\; \uparrow \; -->a}{lim}f(x),\underset{x\nearrow <!--\; \nearrow \; -->a}{lim}f(x).$$\lim \limits _{{x\to a-}}f(x),\ \ \lim \limits _{{x\to a-0}}f(x),\ \ \lim _{{x\uparrow a}}f(x),\ \ \lim _{{x\nearrow a}}f(x).$ 

• При этом используются также сокращённые обозначения:
  • $f\left(a+\right)$$f\left(a+\right)$  и $f\left(a+0\right)$$f\left(a+0\right)$  для правого предела;
  • $f\left(a-<!--\; -\; -->\right)$$f\left(a-\right)$  и $f\left(a-<!--\; -\; -->0\right)$$f\left(a-0\right)$  для левого предела.

• При $a=0$$a=0$  для сокращения записи вместо $\underset{x\to <!--\; \to \; -->0+0}{lim}f(x)$$\lim \limits _{x\to 0+0}f(x)$  и $\underset{x\to <!--\; \to \; -->0-<!--\; -\; -->0}{lim}f(x)$$\lim \limits _{x\to 0-0}f(x)$  обычно пишут $\underset{x\to <!--\; \to \; -->+0}{lim}f(x)$$\lim \limits _{x\to +0}f(x)$  и $\underset{x\to <!--\; \to \; -->-<!--\; -\; -->0}{lim}f(x)$$\lim \limits _{x\to -0}f(x)$  соответственно.

СвойстваПравить

• Основные свойства односторонних пределов идентичны свойствам обычных пределов и являются частными случаями свойств пределов вдоль фильтра.
• Для существования (двустороннего) предела функции необходимо и достаточно, чтобы оба односторонних предела существовали и равнялись между собой.

ПримерыПравить

 

Функция из второго примера

• Тождественная числовая функция
  • $f\left(x\right)=x$$f\left(x\right)=x$ 
  • Область определения: $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$ 
  • Правый предел: $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}a\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}:<!--\; :\; -->\underset{x\to <!--\; \to \; -->a+0}{lim}x=a$$\forall a\in \mathbb{R} \colon \lim _{{x\to a+0}}x=a$ 
  • Левый предел: $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}a\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}:<!--\; :\; -->\underset{x\to <!--\; \to \; -->a-<!--\; -\; -->0}{lim}x=a$$\forall a\in \mathbb{R} \colon \lim _{{x\to a-0}}x=a$ 
  • Правый и левый пределы совпадают, так что имеется обычный предел: $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}a\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}:<!--\; :\; -->\underset{x\to <!--\; \to \; -->a}{lim}x=a$$\forall a\in \mathbb{R} \colon \lim _{{x\to a}}x=a$ 
• Кусочно-заданная функция
  • $f\left(x\right)={\begin{cases}x^{2},&x<3\\11-\left(x-3\right)^{2},&x>3\end{cases}}$ 
  • Область определения: $\mathbb{R}\setminus <!--\; \setminus \; -->\left\{3\right\}$$\mathbb{R} \setminus \left\{3\right\}$ 
  • Правый предел: $\underset{x\to <!--\; \to \; -->3+0}{lim}f\left(x\right)=11$$\lim _{{x\to 3+0}}f\left(x\right)=11$ 
  • Левый предел: $\underset{x\to <!--\; \to \; -->3-<!--\; -\; -->0}{lim}f\left(x\right)=9$$\lim _{{x\to 3-0}}f\left(x\right)=9$ 
  • Правый и левый пределы различны, так что обычного предела в точке $x=3$$x=3$  не существует
• Функция sgn(x)
  • $f\left(x\right)={\begin{cases}0,&x=0\\{\frac {x}{\left|x\right|}},&x\neq 0\end{cases}}$ 
  • Область определения: $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$ 
  • Правый предел: $\underset{x\to <!--\; \to \; -->0+0}{lim}\mathrm{sgn}<!--\; \; -->\left(x\right)=+1$$\lim _{{x\to 0+0}}\operatorname{sgn} \left(x\right)=+1$ 
  • Левый предел: $\underset{x\to <!--\; \to \; -->0-<!--\; -\; -->0}{lim}\mathrm{sgn}<!--\; \; -->\left(x\right)=-<!--\; -\; -->1$$\lim _{{x\to 0-0}}\operatorname{sgn} \left(x\right)=-1$ 
  • Правый и левый пределы различны, так что обычного предела в точке $x=0$$x=0$  не существует

См. такжеПравить

• Предел функции