Теорема о циркуляции магнитного поля

Теорема о циркуляции магнитного поля — одна из фундаментальных теорем классической электродинамики, сформулированная Андре Мари Ампером в 1826 году. В 1861 году Джеймс Максвелл снова вывел эту теорему, опираясь на аналогии с гидродинамикой, и обобщил её (см. ниже). Уравнение, представляющее собой содержание теоремы в этом обобщённом виде, входит в число уравнений Максвелла. (Для случая постоянных электрических полей — то есть в принципе в магнитостатике — верна теорема в первоначальном виде, сформулированном Ампером и приведённом в статье первым; для общего случая правая часть должна быть дополнена членом с производной напряжённости электрического поля по времени — см. ниже). Теорема гласит:

Циркуляция магнитного поля постоянных токов по всякому замкнутому контуру пропорциональна сумме сил токов, пронизывающих контур циркуляции.

Эта теорема, особенно в иностранной или переводной литературе, называется также теоремой Ампера или законом Ампера о циркуляции (англ. Ampère’s circuital law). Последнее название подразумевает рассмотрение закона Ампера в качестве более фундаментального утверждения, чем закон Био — Савара — Лапласа, который в свою очередь рассматривается уже в качестве следствия (что, в целом, соответствует современному варианту построения электродинамики).

Для общего случая (классической) электродинамики формула должна быть дополнена в правой части членом, содержащим производную по времени от электрического поля (см. уравнения Максвелла, а также параграф «Обобщение» ниже). В таком дополненном виде она представляет собой четвёртое уравнение Максвелла в интегральной форме.

Математическая формулировкаПравить

В математической формулировке для магнитостатики теорема имеет следующий вид:

$\oint <!--\; \oint \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{B}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{dl}=\frac{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{c}\int <!--\; \int \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{j}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{ds}$$\oint {\vec B}\cdot {\vec {dl}}={\frac {4\pi }{c}}\int {\vec j}\cdot {\vec {ds}}$ 

Здесь $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{B}$${\vec {B}}$  — вектор магнитной индукции, $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{j}$$\vec j$  — плотность тока; интегрирование слева производится по произвольному замкнутому контуру, справа — по произвольной поверхности, натянутой на этот контур. Данная форма носит название интегральной, поскольку в явном виде содержит интегрирование. Теорема может быть также представлена в дифференциальной форме:

$\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{B}=\frac{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{c}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{j}$${\mathrm {rot}}\ {\vec B}={\frac {4\pi }{c}}{\vec j}$ 

Эквивалентность интегральной и дифференциальной форм следует из теоремы Стокса.

Приведённая выше форма справедлива для вакуума. В случае применения её в среде (веществе), она будет корректна только в случае, если под j понимать вообще все токи, то есть учитывать и «микроскопические» токи, текущие в веществе, включая «микроскопические» токи, текущие в областях размерами порядка размера молекулы (см. диамагнетики) и магнитные моменты микрочастиц (см.например ферромагнетики).

Поэтому в веществе, если не пренебрегать его магнитными свойствами, часто удобно из полного тока выделить ток намагничения (см. связанные токи), выразив его через величину намагниченности $I$$I$  и введя вектор напряжённости магнитного поля

$\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{H}=\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{B}-<!--\; -\; -->4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{I}$${\vec H}={\vec B}-4\pi {\vec I}$ 

Тогда теорема о циркуляции запишется в форме

$\oint <!--\; \oint \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{H}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{dl}=\frac{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{c}\int <!--\; \int \; -->{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{j}}_f\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{ds}$$\oint {\vec H}\cdot {\vec {dl}}={\frac {4\pi }{c}}\int {\vec j}_{f}\cdot {\vec {ds}}$ 

$\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{H}=\frac{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{c}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{j}}_f,$${\mathrm {rot}}\ {\vec H}={\frac {4\pi }{c}}{\vec j}_{f},$ 

где под ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{j}}_f$${\vec j}_{f}$  (в отличие от $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{j}$$\vec j$  в формуле выше) имеются в виду т. н. свободные токи, в которых ток намагничения исключён (что бывает удобно практически, поскольку ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{j}}_f$${\vec j}_{f}$  — это обычно уже в сущности макроскопические токи, которые не связаны с намагничением вещества и которые в принципе нетрудно непосредственно измерить).

В динамическом случае — то есть в общем случае классической электродинамики — когда поля меняются во времени (а в средах при этом меняется и их поляризация) — и речь тогда идёт об обобщённой теореме, включающей $d\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{E}/dt$$d{\vec E}/dt$ , — всё сказанное выше относится и к микроскопическим токам, связанным с изменениями поляризации диэлектрика. Эта часть токов тогда учитывается в члене $d\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{D}/dt$$d{\vec D}/dt$ .

ОбобщениеПравить

Основная статья: Закон Ампера — Максвелла

Основным фундаментальным обобщением теоремы является четвёртое уравнение Максвелла. В интегральной форме оно является прямым обобщением на динамический случай магнитостатической формулы, приведённой выше. Для вакуума:

$\oint <!--\; \oint \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{B}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{dl}=\frac{1}{c}\int <!--\; \int \; -->(4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{j}+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{E}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t})\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{ds}$$\oint {\vec B}\cdot {\vec {dl}}={\frac {1}{c}}\int (4\pi {\vec j}+{\frac {\partial {\vec E}}{\partial t}})\cdot {\vec {ds}}$ 

для среды:

$\oint <!--\; \oint \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{H}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{dl}=\frac{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{c}\int <!--\; \int \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{j}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{ds}+\frac{1}{c}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}\int <!--\; \int \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{D}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{ds}.$$\oint {\vec {H}}\cdot {\vec {dl}}={\frac {4\pi }{c}}\int {\vec j}\cdot {\vec {ds}}+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\int {\vec {D}}\cdot {\vec {ds}}.$ 

(Как видим, формулы отличаются от приведённых выше только одним добавочным членом со скоростью изменения электрического поля в правой части).

Дифференциальная форма этого уравнения:

$\mathbf{r}\mathbf{o}\mathbf{t}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{B}=\frac{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{c}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{j}+\frac{1}{c}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{E},$${\mathbf {rot}}{\vec {B}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec j}+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}{\vec {E}},$ 

$\mathbf{r}\mathbf{o}\mathbf{t}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{H}=\frac{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{c}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{j}+\frac{1}{c}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{D}$${\mathbf {rot}}{\vec {H}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec j}+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}{\vec {D}}$ 

(в гауссовой системе, для вакуума и среды соответственно) — также можно при желании считать вариантом обобщения теоремы о циркуляции магнитного поля, поскольку она, конечно, тесно связана с интегральной.

Практическое значениеПравить

 

Магнитное поле прямолинейного проводника с током.

Теорема о циркуляции играет в магнитостатике приблизительно ту же роль, что и теорема Гаусса в электростатике. В частности, при наличии определённой симметрии задачи, она позволяет просто находить величину магнитного поля во всём пространстве по заданным токам. Например, для вычисления магнитного поля от бесконечного прямолинейного проводника с током по закону Био — Савара — Лапласа потребуется вычислить неочевидный интеграл, в то время как теорема о циркуляции (с учётом осевой симметрии задачи) позволяет дать мгновенный ответ:

$B(r)\cdot <!--\; \cdot \; -->2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}r=\frac{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{c}I\to <!--\; \to \; -->B(r)=\frac{2I}{cr}$$B(r)\cdot 2\pi r={\frac {4\pi }{c}}I\to B(r)={\frac {2I}{cr}}$ .

Доказательство теоремы о циркуляцииПравить

 

Циркуляция магнитного поля

Если теорема о циркуляции магнитного поля не принимается в качестве аксиомы, то она может быть доказана с помощью закона Био — Савара — Лапласа. Рассмотрим магнитное поле, создаваемое в точке $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{p}=(x_0;y_0;z_0)$${\vec {p}}=(x_{0};y_{0};z_{0})$  бесконечным проводом с током, заданным в пространстве кривой C. По закону Био — Савара — Лапласа токовый элемент провода, заданный радиус-вектором $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}$${\vec {r}}$ , создаёт в точке $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{p}$${\vec p}$  элементарное поле $\mathrm{d}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{B}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{p})=\frac{{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_0}{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\frac{I[\mathrm{d}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}\times <!--\; \times \; -->(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{p}-<!--\; -\; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})]}{|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{p}-<!--\; -\; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}{|}^3}$$\mathrm {d} {\vec {B}}({\vec {p}})={\mu _{0} \over 4\pi }{\frac {I[\mathrm {d} {\vec {r}}\times ({\vec {p}}-{\vec {r}})]}{|{\vec {p}}-{\vec {r}}|^{3}}}$ .

Полная индукция магнитного поля в точке $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{p}$${\vec p}$  получается интегрированием элементарного поля по всей кривой C в направлении течения тока:

$\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{B}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{p})=\frac{{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_0}{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\underset{\mathbb{C}}{\int <!--\; \int \; -->}\frac{I[\mathrm{d}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}\times <!--\; \times \; -->(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{p}-<!--\; -\; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})]}{|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{p}-<!--\; -\; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}{|}^3}$${\vec {B}}({\vec {p}})={\mu _{0} \over 4\pi }\int \limits _{\mathbb {C} }{\frac {I[\mathrm {d} {\vec {r}}\times ({\vec {p}}-{\vec {r}})]}{|{\vec {p}}-{\vec {r}}|^{3}}}$ 

Нужно сразу отметить, что полученный интеграл не относится ни к одному из двух родов криволинейных интегралов. Как можно заметить, он определяет собой векторную величину, тогда как любой криволинейный интеграл является скалярной величиной. Но допустим, что его всё-таки можно вычислить каким-нибудь способом (например, интегрированием отдельно каждой компоненты вектора). Тогда найдём циркуляцию полученного вектора индукции по некоторому замкнутому контуру Г, обхватывающему провод с током.

По определению циркуляция векторной функции — это криволинейный интеграл второго рода от этой функции по замкнутому контуру в положительном направлении обхода этой кривой. Будем считать положительным направлением нормали к поверхности, натянутой на контур, такое направление, которое образует острый угол с осью z. Тогда положительное направление обхода контура определяется правилом буравчика (правого винта) по отношению к положительной нормали. Будем также считать положительным тот ток, который течёт в направлении положительной нормали контура, охватывающего ток.

Циркуляция будет иметь вид:

$\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}={\oint <!--\; \oint \; -->}_{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{B}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{d}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{p}={\oint <!--\; \oint \; -->}_{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}\frac{{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_{0}I}{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\underset{\mathbb{C}}{\int <!--\; \int \; -->}\frac{[\mathrm{d}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}\times <!--\; \times \; -->(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{p}-<!--\; -\; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})]}{|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{p}-<!--\; -\; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}{|}^3}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{d}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{p}$$\Gamma =\oint _{\Gamma }{\vec {B}}\cdot \mathrm {d} {\vec {p}}=\oint _{\Gamma }{\mu _{0}I \over 4\pi }\int \limits _{\mathbb {C} }{\frac {[\mathrm {d} {\vec {r}}\times ({\vec {p}}-{\vec {r}})]}{|{\vec {p}}-{\vec {r}}|^{3}}}\cdot \mathrm {d} {\vec {p}}$ 

Можно заметить, что под знаками интегралов появилось смешанное произведение векторов $[\mathrm{d}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}\times <!--\; \times \; -->(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{p}-<!--\; -\; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})]\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{d}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{p}=(\mathrm{d}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{p},\mathrm{d}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r},(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{p}-<!--\; -\; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}))$$[\mathrm {d} {\vec {r}}\times ({\vec {p}}-{\vec {r}})]\cdot \mathrm {d} {\vec {p}}=(\mathrm {d} {\vec {p}},\mathrm {d} {\vec {r}},({\vec {p}}-{\vec {r}}))$ , которое по свойству кососимметрии может быть записано следующим образом:

$[\mathrm{d}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}\times <!--\; \times \; -->(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{p}-<!--\; -\; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})]\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{d}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{p}=(\mathrm{d}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{p},\mathrm{d}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r},(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{p}-<!--\; -\; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}))=((\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{p}-<!--\; -\; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}),\mathrm{d}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{p},\mathrm{d}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})=[\mathrm{d}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{p}\times <!--\; \times \; -->\mathrm{d}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}]\cdot <!--\; \cdot \; -->(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{p}-<!--\; -\; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})$$[\mathrm {d} {\vec {r}}\times ({\vec {p}}-{\vec {r}})]\cdot \mathrm {d} {\vec {p}}=(\mathrm {d} {\vec {p}},\mathrm {d} {\vec {r}},({\vec {p}}-{\vec {r}}))=(({\vec {p}}-{\vec {r}}),\mathrm {d} {\vec {p}},\mathrm {d} {\vec {r}})=[\mathrm {d} {\vec {p}}\times \mathrm {d} {\vec {r}}]\cdot ({\vec {p}}-{\vec {r}})$ 

Тогда циркуляция примет вид:

$\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}=\frac{{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_{0}I}{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\oint <!--\; \oint \; -->}_{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}\underset{\mathbb{C}}{\int <!--\; \int \; -->}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{p}-<!--\; -\; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{[\mathrm{d}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{p}\times <!--\; \times \; -->\mathrm{d}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}]}{|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{p}-<!--\; -\; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}{|}^3}$$\Gamma ={\mu _{0}I \over 4\pi }\oint _{\Gamma }\int \limits _{\mathbb {C} }({\vec {p}}-{\vec {r}})\cdot {\frac {[\mathrm {d} {\vec {p}}\times \mathrm {d} {\vec {r}}]}{|{\vec {p}}-{\vec {r}}|^{3}}}$ 

Нужно обратить внимание на то, чем является векторное произведение $[\mathrm{d}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{p}\times <!--\; \times \; -->\mathrm{d}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}]$$[\mathrm {d} {\vec {p}}\times \mathrm {d} {\vec {r}}]$ : его величина равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах, а направление перпендикулярно этому параллелограмму. Тогда данное векторное произведение можно считать элементарной векторной площадкой $\mathrm{d}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{S}=[\mathrm{d}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{p}\times <!--\; \times \; -->\mathrm{d}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}]$$\mathrm {d} {\vec {S}}=[\mathrm {d} {\vec {p}}\times \mathrm {d} {\vec {r}}]$  поверхности, которую заметает вектор $(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{p}-<!--\; -\; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})$$({\vec {p}}-{\vec {r}})$  при двойном криволинейном интегрировании, причём угол между $(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{p}-<!--\; -\; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})$$({\vec {p}}-{\vec {r}})$  и $\mathrm{d}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{S}$$\mathrm {d} {\vec {S}}$ , как можно заметить, является острым. Данная поверхность является цилиндрической поверхностью, охватывающей провод с током, а её сечением является контур циркуляции Г. Тогда двойной криволинейный интеграл можно заменить поверхностным интегралом второго рода по данной поверхности.

Тогда циркуляция примет вид:

$\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}=\frac{{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_{0}I}{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\int <!--\; \int \; -->{\int <!--\; \int \; -->}_S(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{p}-<!--\; -\; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{\mathrm{d}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{S}}{|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{p}-<!--\; -\; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}{|}^3}$$\Gamma ={\mu _{0}I \over 4\pi }\int \!\!\!\int _{S}({\vec {p}}-{\vec {r}})\cdot {\frac {\mathrm {d} {\vec {S}}}{|{\vec {p}}-{\vec {r}}|^{3}}}$ 

Если считать поверхность интегрирования стягивающей поверхностью, легко видеть, что поверхностный интеграл представляет собой телесный угол для данной поверхности. Поверхность интегрирования условно можно считать замкнутой на бесконечности. И тогда, поскольку вектор $(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{p}-<!--\; -\; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})$$({\vec {p}}-{\vec {r}})$  при интегрировании всегда находится внутри поверхности, телесный угол является полным, то есть равным $4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$4\pi$  стерадиан. И тогда циркуляция равна $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}=\frac{{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_{0}I}{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}={\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_{0}I$$\Gamma ={\mu _{0}I \over 4\pi }4\pi =\mu _{0}I$ .

Если бы контур Г не охватывал провод, тогда вектор $(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{p}-<!--\; -\; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})$$({\vec {p}}-{\vec {r}})$  при интегрировании никогда не находился бы полностью внутри поверхности интегрирования. В этом случае телесный угол был бы равен нулю, как и циркуляция поля: $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}=0$$\Gamma =0$ .

Последние два утверждения о телесном угле являются по сути содержанием теоремы Гаусса о потоке вектора напряжённости заряда через произвольную замкнутую поверхность и могут быть доказаны независимо.

Если бы ток тёк в противоположном направлении, угол между векторами $(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{p}-<!--\; -\; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})$$({\vec {p}}-{\vec {r}})$  и $[\mathrm{d}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{p}\times <!--\; \times \; -->\mathrm{d}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}]$$[\mathrm {d} {\vec {p}}\times \mathrm {d} {\vec {r}}]$  был бы уже тупым (нормаль была бы направлена внутрь поверхности), и циркуляция поменяла бы свой знак на противоположный, что эквивалентно течению тока в прежнем направлении, но с отрицательной силой.

В случае поля, создаваемого несколькими проводниками с током, нужно помнить о свойстве суперпозиции магнитного поля и свойстве аддитивности криволинейного интеграла: циркуляция суперпозиции векторов равна скалярной сумме циркуляций этих векторов.