Поток (геометрическая теория меры)

Пото́к — обобщение понятия подмногообразия играющее ключевую роль в геометрической теории меры. В частности, при помощи потоков обычно доказывается существование минимальных поверхностей с особенностями.

Потоки определяются подобно обобщённым функциям — поток есть линейный функционал на пространстве дифференциальных форм.

ОпределениеПравить

Обозначим через ${\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}_c^m(M)$$\Omega _{c}^{m}(M)$  пространство гладких $m$$m$ -форм с компактным носителем на гладком многообразии $M$$M$ . Поток определяется как  линейный функционал на ${\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}_c^m(M)$$\Omega _{c}^{m}(M)$  непрерывен в смысле распределений. То есть, линейный функционал

$T:<!--\; :\; -->{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}_c^m(M)\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$T\colon \Omega _{c}^{m}(M)\to \mathbb {R}$ 

есть $m$$m$ -поток, если для любой последовательности ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_k$$\omega _{k}$  гладких форм, носители челнов которой лежат в одном компактном множестве, сходящейся к нулевой форме в $C^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$C^\infty$  имеем

$T({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_k)\to <!--\; \to \; -->0$$T(\omega _{k})\to 0$ 

ЗамечанияПравить

• Пространство ${\mathcal{D}}_m(M)$${\mathcal {D}}_{m}(M)$  из $m$$m$ -мерных потоков на $M$$M$  это вещественное векторное пространство.

• Многое свойства обобщенных функций переносятся на потоки. Например, можно определить носитель потока $T$$T$  как дополнение максимальному открытому множеству $U\subset <!--\; \subset \; -->M$$U\subset M$  такому, что

  $T(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})=0$$T(\omega )=0$  для любой формы $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\in <!--\; \in \; -->{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}_c^m(U)$$\omega \in \Omega _{c}^{m}(U)$ .

  • Пространство $m$$m$ -мерных потоков с компактным носителем обычно обозначают ${\mathcal{E}}_m(M)$${\mathcal {E}}_{m}(M)$ .

• Пространство потоков естественно, наделено слабой топологией.

  $T_k\to <!--\; \to \; -->T⟺<!--\; ⟺\; -->T_k(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})\to <!--\; \to \; -->T(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}),\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}.$$T_{k}\to T\quad \iff \quad T_{k}(\omega )\to T(\omega ),\qquad \forall \omega .\,$ 

НормыПравить

Можно определить несколько норм на подпространстве пространства всех потоков. Одной из таких норм является масса.

$\mathbf{M}(T):=sup\{T(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}):<!--\; :\; -->\underset{x}{sup}||\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}(x)||\le <!--\; \le \; -->1\},$$\mathbf {M} (T):=\sup\{T(\omega )\colon \sup _{x}|\vert \omega (x)|\vert \leq 1\},$ 

где $||\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}(x)||$$|\vert \omega (x)\vert |$  есть $L^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$L^{\infty }$ -норма на пространстве форм.

Масса потока является естественным обобщением объёма подмногообразия.

Плоская норма, определяется как

$\mathbf{F}(T):=inf\{\mathbf{M}(T-<!--\; -\; -->\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}A)+\mathbf{M}(A):<!--\; :\; -->A\in <!--\; \in \; -->{\mathcal{E}}_{m+1}\}.$$\mathbf {F} (T):=\inf\{\mathbf {M} (T-\partial A)+\mathbf {M} (A)\colon A\in {\mathcal {E}}_{m+1}\}.$ 

ЛитератураПравить

• Федерер Г. Геометрическая теория меры. — 1987. — 760 с.