Потенциалы Лиенара — Вихерта

Потенциа́лы Лиена́ра — Ви́херта представляют собой простое лоренц-инвариантное выражение для потенциалов поля, создаваемого точечным электрическим зарядом, движущимся по заданной траектории. Они являются точным решением уравнений Максвелла в пустоте для случая одной частицы, записанным в калибровке Лоренца.

Выражения получены независимо друг от друга Альфредом-Мари Лиенаром (1898) и Эмилем Вихертом (1900).

ОпределениеПравить

Все величины в формулах для потенциалов Лиенара — Вихерта, включая скорость частицы и её радиус-вектор $\mathbf{R}$$\mathbf {R}$ , берутся в момент времени $t^{\prime }$$t'$ , определяемый из уравнения

$c(t-<!--\; -\; -->t^{\prime })=R.$$c(t-t')=R.$ 

$t^{\prime }$$t'$  также называют временем запаздывания^[en].

Потенциалы поля в начале координат даются выражениями (в системе СГС)

$\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(t)={\frac{e}{R+\frac{\mathbf{v}\mathbf{R}}{c}}|}_{t=t^{\prime }},$$\varphi (t)=\left.{\frac {e}{R+{\mathbf {v} \mathbf {R} \over c}}}\right|_{t=t'},$ 

$\mathbf{A}(t)={\frac{e\mathbf{v}}{c\left(R+\frac{\mathbf{v}\mathbf{R}}{c}\right)}|}_{t=t^{\prime }},$$\mathbf {A} (t)=\left.{\frac {e\mathbf {v} }{c\left(R+{\mathbf {v} \mathbf {R} \over c}\right)}}\right|_{t=t'},$ 

где $\mathbf{v}$${\mathbf v}$  — скорость частицы, $\mathbf{R}$$\mathbf {R}$  — её радиус-вектор, $R=|\mathbf{R}|,$$R=|\mathbf {R} |,$  $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  — скалярный потенциал, $\mathbf{A}$${\mathbf A}$  — векторный потенциал магнитного поля, $e$$e$  — заряд частицы, $c$$c$  — скорость света.

В более общем случае, когда потенциалы ищутся в произвольной точке P системы отсчёта с радиусом-вектором ${\mathbf{r}}_P$$\mathbf {r} _{P}$ , формулы для потенциалов можно объединить в одно лоренц-инвариантное выражение для 4-потенциала:

$A^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}=e\frac{u^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}{R_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{u}^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}},R_{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}{R}^{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}=0,$$A^{\mu }=e{\frac {u^{\mu }}{R_{\nu }u^{\nu }}},\qquad R_{\lambda }R^{\lambda }=0,$ 

где $u^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}$$u^{\mu }$  — 4-скорость частицы в момент времени $t^{\prime }$$t'$ , 4-вектор $R^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}=\left[c(t-<!--\; -\; -->t^{\prime }),{\mathbf{r}}_P-<!--\; -\; -->{\mathbf{r}}^{\prime }\right],$$R^{\mu }=\left[c(t-t'),\mathbf {r} _{P}-\mathbf {r} '\right],$  величина ${\mathbf{r}}^{\prime }$$\mathbf {r} '$  есть радиус-вектор частицы в момент времени $t^{\prime }$$t'$ .

ЛитератураПравить

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7..
• Lienard A. M. L’Éclairage électrique 16, 5, 53, 106 (1898).
• Wiechert E. Archives néerl., 2nd series, 5, 549 (1900).