Константа Миллса

Константа Миллса A — действительное число, одна из констант в теории чисел. Константа Миллса определяется как минимальное действительное число $A>1$$A>1$ такое, что для всех целых положительных $n$$n$ числа

$P_n=\lfloor A^{3^n}\rfloor ,$$P_{n}=\left\lfloor A^{3^{n}}\right\rfloor ,$

являются простыми, где $\lfloor <!--\; \lfloor \; -->\cdot <!--\; \cdot \; -->\rfloor <!--\; \rfloor \; -->$$\lfloor \cdot \rfloor$ обозначает целую часть (округление вниз).

Неизвестно, является ли A рациональным числом.

Константа названа в честь Уильяма Миллса, доказавшего её существование в 1947 году. Точное значение этой константы неизвестно, однако, если предположить, что гипотеза Римана верна, то значение можно найти: A = 1,3063778838630806904686144926….

Гипотеза Римана подразумевает через её следствие — гипотезу Линделёфа,^{[неоднозначно]} что существуют простые числа между кубами двух последовательных натуральных чисел.

Простые числа Миллса править

Простые числа Миллса — это простые числа, найденные по указанной выше формуле при условии верности гипотезы Римана:^{[неоднозначно]}

• $n=1P_n=2$$n = 1 \;\;\; P_n = 2$ 
• $n=2P_n=11$$n = 2 \;\;\; P_n = 11$ 
• $n=3P_n=1361$$n = 3 \;\;\; P_n = 1\,361$ 
• $n=4P_n=2521008887$$n = 4 \;\;\; P_n = 2\,521\,008\,887$ 
• $n=5P_n=16022236204009818131831320183$$n = 5 \;\;\; P_n = 16\,022\,236\,204\,009\,818\,131\,831\,320\,183$ 
• $n=6P_n=4113101149215104800030529537915953170486139623539759933135949994882770404074832568499$$n = 6 \;\;\; P_n = 4\,113\,101\,149\,215\,104\,800\,030\,529\,537\,915\,953\,170\,486\,139\,623\,539\,759\,933\,135\,949\,994\,882\,770\,404\,074\,832\,568\,499$ 
• $\dots <!--\; \dots \; -->$$\ldots$ .

Есть и другой факт относительно этих чисел: если $P_i$$P_{i}$  — i-е число в этой последовательности, то $P_i$$P_{i}$  может быть найдено как наименьшее простое число, следующее за $P_{i-<!--\; -\; -->1}^3$$P_{i-1}^{3}$ . Он может быть использован для получения оценочных неравенств на константу Миллса.

Численные вычисления править

В 2005 году было высчитано более семи тысяч знаков A в предположении верности гипотезы Римана.

Ссылки править

• Weisstein, Eric W. Mills' Constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Who remembers the Mills number?, E. Kowalski.
• Awesome Prime Number Constant, Numberphile.