Последовательность Люка

Не следует путать с числами Люка.

В математике, последовательностями Люка называют семейство пар линейных рекуррентных последовательностей второго порядка, впервые рассмотренных Эдуардом Люка.

Последовательности Люка представляют собой пары последовательностей $\{U_n(P,Q)\}$$\{U_{n}(P,Q)\}$ и $\{V_n(P,Q)\}$$\{V_{n}(P,Q)\}$, удовлетворяющих одному и тому же рекуррентному соотношению с коэффициентами P и Q:

$U_0(P,Q)=0,U_1(P,Q)=1,U_{n+2}(P,Q)=P\cdot <!--\; \cdot \; -->U_{n+1}(P,Q)-<!--\; -\; -->Q\cdot <!--\; \cdot \; -->U_n(P,Q),n\ge <!--\; \ge \; -->0$$U_{0}(P,Q)=0,\quad U_{1}(P,Q)=1,\quad U_{n+2}(P,Q)=P\cdot U_{n+1}(P,Q)-Q\cdot U_{n}(P,Q),\,n\geq 0$

$V_0(P,Q)=2,V_1(P,Q)=P,V_{n+2}(P,Q)=P\cdot <!--\; \cdot \; -->V_{n+1}(P,Q)-<!--\; -\; -->Q\cdot <!--\; \cdot \; -->V_n(P,Q),n\ge <!--\; \ge \; -->0$$V_{0}(P,Q)=2,\quad V_{1}(P,Q)=P,\quad V_{n+2}(P,Q)=P\cdot V_{n+1}(P,Q)-Q\cdot V_{n}(P,Q),\,n\geq 0$

ПримерыПравить

Некоторые последовательности Люка носят собственные имена:

• $\{U_n(1,-<!--\; -\; -->1)\}$$\{U_{n}(1,-1)\}$  — числа Фибоначчи
• $\{V_n(1,-<!--\; -\; -->1)\}$$\{V_{n}(1,-1)\}$  — числа Люка
• $\{U_n(2,-<!--\; -\; -->1)\}$$\{U_{n}(2,-1)\}$  — числа Пелля
• $\{V_n(2,-<!--\; -\; -->1)\}$$\{V_{n}(2,-1)\}$  — числа Пелля — Люка
• $\{U_n(3,2)\}$$\{U_{n}(3,2)\}$  — числа Мерсенна
• $\{V_{2^n}(3,2)\}$$\{V_{2^{n}}(3,2)\}$  — числа Ферма
• $\{U_n(1,-<!--\; -\; -->2)\}$$\{U_{n}(1,-2)\}$  — числа Якобшталя
• $\{U_n(2x,1)\}$$\{U_{n}(2x,1)\}$  — многочлены Чебышёва второго рода
• $\{V_n(2x,1)\}$$\{V_{n}(2x,1)\}$  — многочлены Чебышёва первого рода умноженные на 2

Явные формулыПравить

Характеристическим многочленом последовательностей Люка $\{U_n(P,Q)\}$$\{U_{n}(P,Q)\}$  и $\{V_n(P,Q)\}$$\{V_{n}(P,Q)\}$  является:

$x^2-<!--\; -\; -->P\cdot <!--\; \cdot \; -->x+Q.$$x^{2}-P\cdot x+Q.$ 

Его дискриминант $D=P^2-<!--\; -\; -->4Q$$D=P^{2}-4Q$  предполагается не равным нулю. Корни характеристического многочлена

$\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\frac{P+\sqrt{D}}{2}$$\alpha ={\frac {P+{\sqrt {D}}}{2}}$  и $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=\frac{P-<!--\; -\; -->\sqrt{D}}{2}$$\beta ={\frac {P-{\sqrt {D}}}{2}}$ 

можно использовать для получения явных формул:

$U_n(P,Q)=\frac{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^n-<!--\; -\; -->{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^n}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}=\frac{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^n-<!--\; -\; -->{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^n}{\sqrt{D}}$$U_{n}(P,Q)={\frac {\alpha ^{n}-\beta ^{n}}{\alpha -\beta }}={\frac {\alpha ^{n}-\beta ^{n}}{\sqrt {D}}}$ 

и

$V_n(P,Q)={\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^n+{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^n.$$V_{n}(P,Q)=\alpha ^{n}+\beta ^{n}.$ 

Формулы Виета позволяют также выразить $P$$P$  и $Q$$Q$  в виде:

$P=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->},$$P=\alpha +\beta ,$ 

$Q=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}.$$Q=\alpha \cdot \beta .$ 

Вырожденный случайПравить

Дискриминант $D$$D$  обращается в ноль при $P=2S,Q=S^2$$P=2S,Q=S^{2}$  для некоторого числа $S$$S$ . При этом выполняется $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=S$$\alpha =\beta =S$  и соответственно:

$U_n(2S,S^2)=n{S}^{n-<!--\; -\; -->1},$$U_{n}(2S,S^{2})=nS^{n-1},$ 

$V_n(2S,S^2)=2S^n.$$V_{n}(2S,S^{2})=2S^{n}.$ 

СвойстваПравить

$D{U}_n=V_{n+1}-<!--\; -\; -->Q{V}_{n-<!--\; -\; -->1}=2V_{n+1}-<!--\; -\; -->P{V}_n$$DU_{n}=V_{n+1}-QV_{n-1}=2V_{n+1}-PV_{n}$ 

$V_n=U_{n+1}-<!--\; -\; -->Q{U}_{n-<!--\; -\; -->1}=2U_{n+1}-<!--\; -\; -->P{U}_n$$V_{n}=U_{n+1}-QU_{n-1}=2U_{n+1}-PU_{n}$ 

$U_{n+m}=U_n{U}_{m+1}-<!--\; -\; -->Q{U}_m{U}_{n-<!--\; -\; -->1}=\frac{U_n{V}_m+U_m{V}_n}{2}$$U_{n+m}=U_{n}U_{m+1}-QU_{m}U_{n-1}={\frac {U_{n}V_{m}+U_{m}V_{n}}{2}}$ 

$V_{n+m}=V_n{V}_m-<!--\; -\; -->Q^m{V}_{n-<!--\; -\; -->m}$$V_{n+m}=V_{n}V_{m}-Q^{m}V_{n-m}$ 

$U_{2n}=U_n{V}_n=\frac{U_{n+1}^2-<!--\; -\; -->Q^2{U}_{n-<!--\; -\; -->1}^2}{P}$$U_{2n}=U_{n}V_{n}={\frac {U_{n+1}^{2}-Q^{2}U_{n-1}^{2}}{P}}$ 

$V_{2n}=V_n^2-<!--\; -\; -->2Q^n$$V_{2n}=V_{n}^{2}-2Q^{n}$ 

$U_{2n+1}=U_{n+1}^2-<!--\; -\; -->Q{U}_n^2$$U_{2n+1}=U_{n+1}^{2}-QU_{n}^{2}$ 

СсылкиПравить

• В. П. Паламодов. О многочленах, образующих возвратную последовательность 2-го порядка // Математическое просвещение. Вторая серия. — 1957. — Вып. 1. — С. 139-147.
• Грант Аракелян. Математика и история золотого сечения. — М.: Логос, 2014, 404 с. — ISBN 978-5-98704-663-0.