Порядок роста

ОпределениеПравить

Порядком роста функции $f$$f$  в точке $z_0$$z_{0}$  называется некоторое число $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\ge <!--\; \ge \; -->0$$\alpha \geq 0$  такое, что для некоторой окрестности ${\mathcal{U}}_{z_0}$${{\mathcal U}}_{{z_{0}}}$  существует такое число $M>0$$M>0$ , что для произвольной точки $z\in <!--\; \in \; -->{\mathcal{U}}_{z_0}$$z\in {\mathcal {U}}_{z_{0}}$  выполняется неравенство $|f(z)|\le <!--\; \le \; -->\frac{M}{|z-<!--\; -\; -->z_0{|}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}$$|f(z)|\leq {\frac {M}{|z-z_{0}|^{\alpha }}}$ 

ЗамечаниеПравить

Легко можно показать, что $f$$f$  ограничена в некоторой окрестности ${\mathcal{U}}_{z_0}$${{\mathcal U}}_{{z_{0}}}$  тогда и только тогда, когда её порядок роста в точке $z_0$$z_{0}$  равен нулю.

Понятие порядка роста крайне важно в одном из разделов комплексного анализа — теории целых функций.