Поперечное поле

Уравнения, связывающие трансверсальные компоненты поля $({\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{E}}_T,{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{H}}_T)$$({\vec {E}}_{T},\;{\vec {H}}_{T})$ с компонентами вдоль направления излучения ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{E}}_Z$${\vec {E}}_{Z}$ и ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{H}}_Z$${\vec {H}}_{Z}$Править

Пусть электромагнитное поле, распространяющееся в направлении $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{z}$${\vec {z}}$ , и $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$  — циклическая частота гармонического сигнала.

• ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{E}}_T$${\vec {E}}_{T}$  связан с ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{E}}_Z$${\vec {E}}_{Z}$  и ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{H}}_Z$${\vec {H}}_{Z}$  следующим соотношением:

${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{E}}_T=\frac{-<!--\; -\; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_T{E}_Z-<!--\; -\; -->j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_0({\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_T{H}_Z)\times <!--\; \times \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{z}}{{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}^2+k_0^2}$${\vec {E}}_{T}={\frac {-\gamma \nabla _{T}E_{Z}-j\omega \mu _{0}(\nabla _{T}H_{Z})\times {\vec {z}}}{\gamma ^{2}+k_{0}^{2}}}$

• ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{H}}_T$${\vec {H}}_{T}$  связан с ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{E}}_Z$${\vec {E}}_{Z}$  и ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{H}}_Z$${\vec {H}}_{Z}$  следующим соотношением:

${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{H}}_T=\frac{-<!--\; -\; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_T{H}_Z+j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_0({\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_T{E}_Z)\times <!--\; \times \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{z}}{{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}^2+k_0^2}$${\vec {H}}_{T}={\frac {-\gamma \nabla _{T}H_{Z}+j\omega \varepsilon _{0}(\nabla _{T}E_{Z})\times {\vec {z}}}{\gamma ^{2}+k_{0}^{2}}}$

где

• ${\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_T$$\nabla _{T}$  — трансверсальный оператор Лапласа;
• $k_0=\frac{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{c};$$k_{0}={\frac {\omega }{c}};$ 
• ${\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}^2=k_c^2-<!--\; -\; -->k_0^2;$$\gamma ^{2}=k_{c}^{2}-k_{0}^{2};$ 
• $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$\varepsilon$  — диэлектрическая проницаемость;
• $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$  — магнитная проницаемость.

Поперечное электрическое полеПравить

Когда ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{E}}_Z=\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{0}$${\vec {E}}_{Z}={\vec {0}}$  и ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{H}}_Z\ne <!--\; \ne \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{0}$${\vec {H}}_{Z}\neq {\vec {0}}$ , то предыдущие формулы принимают вид:

${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{E}}_T=\frac{-<!--\; -\; -->j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_0}{{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}^2+k_0^2}({\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_T{H}_Z)\times <!--\; \times \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{z}$${\vec {E}}_{T}={\frac {-j\omega \mu _{0}}{\gamma ^{2}+k_{0}^{2}}}(\nabla _{T}H_{Z})\times {\vec {z}}$

${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{H}}_T=\frac{-<!--\; -\; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}{{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}^2+k_0^2}{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_T{H}_Z$${\vec {H}}_{T}={\frac {-\gamma }{\gamma ^{2}+k_{0}^{2}}}\nabla _{T}H_{Z}$

Следовательно, ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{E}}_T=\frac{j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_0}{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{H}}_T\times <!--\; \times \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{z}=Z_m{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{H}}_T\times <!--\; \times \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{z}.$${\vec {E}}_{T}={\frac {j\omega \mu _{0}}{\gamma }}{\vec {H}}_{T}\times {\vec {z}}=Z_{m}{\vec {H}}_{T}\times {\vec {z}}.$ 
где: $Z_m=\frac{j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_0}{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}$$Z_{m}={\frac {j\omega \mu _{0}}{\gamma }}$ 
Это выражение принято записывать следующим образом:

${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{H}}_T=\frac{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{z}\times <!--\; \times \; -->{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{E}}_T}{Z_m}$${\vec {H}}_{T}={\frac {{\vec {z}}\times {\vec {E}}_{T}}{Z_{m}}}$

Поперечное магнитное полеПравить

Когда ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{H}}_Z=\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{0}$${\vec {H}}_{Z}={\vec {0}}$  и ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{E}}_Z\ne <!--\; \ne \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{0}$${\vec {E}}_{Z}\neq {\vec {0}}$ , то предыдущие формулы принимают вид:

${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{E}}_T=\frac{-<!--\; -\; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}{{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}^2+k_0^2}{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_T{E}_Z$${\vec {E}}_{T}={\frac {-\gamma }{\gamma ^{2}+k_{0}^{2}}}\nabla _{T}E_{Z}$

${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{H}}_T=\frac{j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_0}{{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}^2+k_0^2}({\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_T{E}_Z)\times <!--\; \times \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{z}$${\vec {H}}_{T}={\frac {j\omega \varepsilon _{0}}{\gamma ^{2}+k_{0}^{2}}}(\nabla _{T}E_{Z})\times {\vec {z}}$

Следовательно,
${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{H}}_T=\frac{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{z}\times <!--\; \times \; -->{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{E}}_T}{Z_m},$${\vec {H}}_{T}={\frac {{\vec {z}}\times {\vec {E}}_{T}}{Z_{m}}},$ 
где: $Z_m=\frac{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}{j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_0}$$Z_{m}={\frac {\gamma }{j\omega \varepsilon _{0}}}$ 

Поперечное электромагнитное полеПравить

Когда ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{E}}_Z={\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{H}}_Z=\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{0}$${\vec {E}}_{Z}={\vec {H}}_{Z}={\vec {0}}$ , электромагнитное поле, распространяющееся в направлении $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{z}$${\vec {z}}$ , называется трансверсальным.

В вакууме $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{H}$${\vec {H}}$  связан с $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{E}$$\vec E$  следующим соотношением:

$\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{H}=\frac{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{z}\times <!--\; \times \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{E}}{Z_0}$$\vec H=\frac{\vec z \times \vec E}{Z_0}$

где: $Z_0=\sqrt{\frac{{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_0}{{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_0}}$$Z_{0}={\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\varepsilon _{0}}}}$  — импеданс вакуума.

Эквивалентная схемаПравить

 

Эквивалентная схема

Пусть $Z=\sqrt{\frac{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}}{Z}_0$$Z={\sqrt {\frac {\mu }{\varepsilon }}}Z_{0}$  — волновое сопротивление среды, в которой распространяется электромагнитная волна в направлении $\mathbf{z}$$\mathbf {z}$ . Поскольку $Z\mathbf{H}=\mathbf{z}\times <!--\; \times \; -->\mathbf{E},$$Z\mathbf {H} =\mathbf {z} \times \mathbf {E} ,$ 
$\mathbf{E}=Z\mathbf{J},$$\mathbf {E} =Z\mathbf {J} ,$  где $\mathbf{J}=\mathbf{H}\times <!--\; \times \; -->\mathbf{z}$$\mathbf {J} =\mathbf {H} \times \mathbf {z}$  — «плотность тока».