Полная производная функции

Полная производная функции — производная функции по времени вдоль траектории.

Расчёт полной производной функции $f=f(t,x(t),y(t))$$f=f(t,x(t),y(t))$ по времени t, $\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}$${\frac {{\mathrm {d}}f}{{\mathrm {d}}t}}$ (в отличие от частной производной, $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}$${\frac {\partial f}{\partial t}}$) не подразумевает, что другие аргументы (т.е. иные нежели аргумент, t, по которому ведётся полное дифференцирование: x и y) постоянны при изменяющемся t. Полная производная включает в себя эти непрямые зависимости от t (т.е. x(t) и y(t)) для описания зависимости f от t.

Оператор \ Функция	$f(x)$$f(x)$	$f(x,y,u(x,y),v(x,y))$$f(x,y,u(x,y),v(x,y))$
Дифференциал	1: $\mathrm{d}f\stackrel{\underset{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{}}{=}{f}_x^{\prime }\mathrm{d}x$$\operatorname {d} \!f{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}f'_{x}\operatorname {d} \!x$	2: ${\mathrm{d}}_{x}f\stackrel{\underset{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{}}{=}{f}_x^{\prime }\mathrm{d}x$$\operatorname {d} _{x}\!f{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}f'_{x}\operatorname {d} \!x$ 3: $\mathrm{d}f\stackrel{\underset{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{}}{=}{f}_x^{\prime }\mathrm{d}x+f_y^{\prime }\mathrm{d}y+f_u^{\prime }\mathrm{d}u+f_v^{\prime }\mathrm{d}v$$\operatorname {d} \!f{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}f'_{x}\operatorname {d} \!x+f'_{y}\operatorname {d} \!y+f'_{u}\operatorname {d} \!u+f'_{v}\operatorname {d} \!v$
Частная производная	$f_x^{\prime }\stackrel{\underset{(1)}{}}{=}\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$$f'_{x}{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}}{\frac {\operatorname {d} \!f}{\operatorname {d} \!x}}$	$f_x^{\prime }\stackrel{\underset{(2)}{}}{=}\frac{{\mathrm{d}}_{x}f}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}$$f'_{x}{\overset {\underset {\mathrm {(2)} }{}}{=}}{\frac {\operatorname {d} _{x}\!f}{\operatorname {d} \!x}}={\partial f \over \partial x}$
Полная производная	$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\stackrel{\underset{(1)}{}}{=}{f}_x^{\prime }$${\frac {\operatorname {d} \!f}{\operatorname {d} \!x}}{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}}f'_{x}$	$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\stackrel{\underset{(3)}{}}{=}{f}_x^{\prime }+f_u^{\prime }\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}+f_v^{\prime }\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x};(f_y^{\prime }\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0)$${\frac {\operatorname {d} \!f}{\operatorname {d} \!x}}{\overset {\underset {\mathrm {(3)} }{}}{=}}f'_{x}+f'_{u}{\frac {\operatorname {d} \!u}{\operatorname {d} \!x}}+f'_{v}{\frac {\operatorname {d} \!v}{\operatorname {d} \!x}};(f'_{y}{\frac {\operatorname {d} \!y}{\operatorname {d} \!x}}=0)$

Пример № 1Править

Например, для упомянутой функции f = f(t, x(t), y(t)) полная производная функции вычисляется по следующему правилу:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f(t_0,x(t_0),y(t_0))={\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}|}_{t_0,x(t_0),y(t_0)}\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}t}+{\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}|}_{t_0,x(t_0),y(t_0)}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+{\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y}|}_{t_0,x(t_0),y(t_0)}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t},$${\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}t}}f(t_{0},x(t_{0}),y(t_{0}))=\left.{\frac {\partial f}{\partial t}}\right|_{{t_{0},x(t_{0}),y(t_{0})}}{\frac {{\mathrm {d}}t}{{\mathrm {d}}t}}+\left.{\frac {\partial f}{\partial x}}\right|_{{t_{0},x(t_{0}),y(t_{0})}}{\frac {{\mathrm {d}}x}{{\mathrm {d}}t}}+\left.{\frac {\partial f}{\partial y}}\right|_{{t_{0},x(t_{0}),y(t_{0})}}{\frac {{\mathrm {d}}y}{{\mathrm {d}}t}},$ 

что упрощается до

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f(t,x(t),y(t))=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t},$${\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}t}}f(t,x(t),y(t))={\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {{\mathrm {d}}x}{{\mathrm {d}}t}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {{\mathrm {d}}y}{{\mathrm {d}}t}},$ 

где $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t},\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x},\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y}$${\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}}$  — частные производные.

Следует отметить, что обозначение $\frac{df}{dt}$${\frac {df}{dt}}$  является условным и не означает деления дифференциалов. Кроме того, полная производная функции зависит не только от самой функции, но и от траектории.

Пример №2Править

Например, полная производная функции $f(x(t),y(t))$$f(x(t),y(t))$ :

$\frac{df}{dt}=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}\frac{dx}{dt}+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y}\frac{dy}{dt}$${df \over dt}={\partial f \over \partial x}{dx \over \ dt}+{\partial f \over \partial y}{dy \over dt}$ 

Здесь нет $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}$${\partial f \over \partial t}$  так как $f$$f$  сама по себе («явно») не зависит от $t$$t$ .

ПриложенияПравить

• Теорема Лиувилля о сохранении фазового объёма

См. такжеПравить

• Конвективная производная
• Производная Лагранжа
• Производная по направлению