Полиминоид

Полимино́ид (сокр. мино́ид) — набор одинаковых квадратов в трёхмерном пространстве, соединённых рёбрами под углом в 90° или 180°. Все полимино являются плоскими полиминоидами. Поверхность куба представляет собой пример гексаминоида, или полиминоида 6 порядка. Идея рассмотреть полиминоиды, по-видимому, была впервые предложена Ричардом А. Эпштейном^[en]^[1].

Полиминоиды 1, 2 и 3 порядка

Соединения под углом 90° называются жёсткими (hard); соединения под углом 180° называются мягкими (soft). Названия типов соединений выбраны исходя из того, что при изготовлении моделей полиминоидов проще было бы изготовить жёсткое соединение под углом 90°, чем жёсткое соединение под углом 180°^[2].

Среди полиминоидов различаются жёсткие, все соединения которых выполнены под углом 90°, мягкие, все соединения которых выполнены под углом 180°, и смешанные (mixed), в которых встречаются соединения обоих типов. Исключением является единственный мономиноид, который вовсе не имеет соединений и поэтому считается одновременно мягким и жёстким.

Мягкие полиминоиды являются обычными полимино.

Как и любые другие полиформы, полиминоиды, являющиеся зеркальными отражениями друг друга, могут различаться (в этом случае они называются односторонними полиминоидами) или считаться эквивалентными (в этом случае они называются свободными полиминоидами).

Число полиминоидовПравить

В следующей таблице приведено число свободных и односторонних полиминоидов до 6 порядка.

	Свободные	Односторонние Всего^[3]
Порядок	Мягкие	Жёсткие	Смешанные	Всего^[4]
1	1^[5]	1	1
2	1	1	0	2	2
3	2	5	2	9	11
4	5	16	33	54	80
5	12	89	347	448	780
6	35	526	4089	4650	8781

Обобщение на случай произвольного числа измеренийПравить

В общем случае можно определить n,k-полиминоид как полиформу, получающуюся путём соединения k-мерных гиперкубов под углом 90° или 180° в n-мерном пространстве, где 1≤k≤n.

Полистики представляют собойe 2,1-полиминоиды.
Полимино — 2,2-полиминоиды.
Описанные в статье «обычные» полиминоиды являются 3,2-полиминоидами.
Поликубы — 3,3-полиминоиды.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

↑ Epstein, Richard A. The Theory of Gambling and Statistical Logic (rev. ed.). — Academic Press, 1977. — С. 369. — ISBN 0-12-240761-X.
↑ The Polyominoids(, Geocities.ws Архивная копия от 12 сентября 2015 на Wayback Machine)
↑ Число полиминоидов, состоящих из n квадратов, OEIS A056846 (неопр.). Дата обращения: 7 августа 2013. Архивировано 26 августа 2013 года.
↑ Число свободных полиминоидов, состоящих из n квадратов, OEIS A075679 (неопр.). Дата обращения: 7 августа 2013. Архивировано 26 августа 2013 года.
↑ См. замечание относительно «мягкости» и «жёсткости» мономиноида.

[epstein1977-1] Epstein, Richard A. The Theory of Gambling and Statistical Logic (rev. ed.). — Academic Press, 1977. — С. 369. — ISBN 0-12-240761-X.

[jorgeluismireles-2] The Polyominoids(, Geocities.ws Архивная копия от 12 сентября 2015 на Wayback Machine)

[3] Число полиминоидов, состоящих из n квадратов, OEIS A056846 (неопр.). Дата обращения: 7 августа 2013. Архивировано 26 августа 2013 года.

[4] Число свободных полиминоидов, состоящих из n квадратов, OEIS A075679 (неопр.). Дата обращения: 7 августа 2013. Архивировано 26 августа 2013 года.

[5] См. замечание относительно «мягкости» и «жёсткости» мономиноида.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]