Гравитационное поле

Гравитацио́нное по́ле, или по́ле тяготе́ния, — фундаментальное физическое поле, через которое осуществляется гравитационное взаимодействие между всеми материальными телами.

Гравитационное поле в классической физикеПравить

Закон всемирного тяготения НьютонаПравить

 

Закон тяготения Ньютона

Основная статья: Классическая теория тяготения Ньютона

В рамках классической физики гравитационное взаимодействие описывается «законом всемирного тяготения» Ньютона, согласно которому сила гравитационного притяжения между двумя материальными точками с массами $m_1$$m_1$  и $m_2$$m_2$  пропорциональна обеим массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

$F=G\frac{m_1{m}_2}{r^2}.$$F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}.$ 

Здесь $G$$G$  — гравитационная постоянная, приблизительно равная $\mathrm{6,673}\cdot <!--\; \cdot \; -->{10}^{-<!--\; -\; -->11}$$6{,}673\cdot 10^{-11}$  м³/(кг с²), $r$$r$  — расстояние между точками.

Решение задачи динамики в общем случае, когда тяготеющие массы нельзя считать материальными точками, подразделяется на два этапа: вначале рассчитывается гравитационное поле, создаваемое этими массами, а затем определяется его действие на массивные тела в изучаемой системе.

Расчёт гравитационного потенциалаПравить

Основная статья: Гравитационный потенциал

Гравитационное поле является потенциальным. Его потенциал $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(\mathbf{r})$$\varphi (\mathbf {r} )$  удовлетворяет уравнению Пуассона:

$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(\mathbf{r})=-<!--\; -\; -->4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}G\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(\mathbf{r})$$\Delta \varphi (\mathbf {r} )=-4\pi G\rho (\mathbf {r} )$ ,

где $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}$$\Delta$  — оператор Лапласа. Решение данного уравнения имеет вид:

$\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(\mathbf{r})=-<!--\; -\; -->G{\int <!--\; \int \; -->}_{V^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}}\frac{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}({\mathbf{r}}^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}})d{V}^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}}{|\mathbf{r}-<!--\; -\; -->{\mathbf{r}}^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}|}$$\varphi (\mathbf {r} )=-G\int _{V^{\prime }}{\frac {\rho (\mathbf {r} ^{\prime })dV^{\prime }}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }|}}$ .

Здесь $\mathbf{r}$$\mathbf {r}$  — радиус-вектор точки, в которой определяется потенциал, ${\mathbf{r}}^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}$$\mathbf {r} ^{\prime }$  — радиус-вектор элемента объёма $d{V}^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}$$dV^{\prime }$  c плотностью вещества $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}({\mathbf{r}}^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}})$$\rho (\mathbf {r} ^{\prime })$ , а интегрирование охватывает все такие элементы. На бесконечности $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=0$$\varphi =0$ .

В частном случае поля, создаваемого расположенной в начале координат точечной массой $M$$M$ , потенциал равен

$\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(\mathbf{r})=-<!--\; -\; -->G\frac{M}{r}$$\varphi (\mathbf {r} )=-G{\frac {M}{r}}$ .

Этим же выражением описывается потенциал тела со сферически-симметрично распределённой массой $M$$M$ , за его пределами.

В общем случае тела произвольной формы на больших расстояниях от него неплохое приближение для потенциала даёт формула:

$\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(\mathbf{r})=-<!--\; -\; -->G\left(\frac{M}{r}+\frac{A+B+C-<!--\; -\; -->3I}{2r^3}\right),$$\varphi (\mathbf {r} )=-G\left({\frac {M}{r}}+{\frac {A+B+C-3I}{2r^{3}}}\right),$ 

где за начало координат принят центр масс тела, $A,B,C$$A,B,C$  — главные моменты инерции тела, $I$$I$  — момент инерции относительно оси $\mathbf{r}$$\mathbf {r}$ . Эта формула несколько упрощается для астрономических объектов, представляющих собой сплюснутые сфероиды вращения с концентрически однородным распределением масс. У таких тел $A=B$$A=B$  и $I=A+(C-<!--\; -\; -->A){\sin }^2<!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},$$I=A+(C-A)\sin ^{2}\alpha ,$  где $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  — угол между $\mathbf{r}$$\mathbf {r}$  и плоскостью главных осей $A$$A$  и $B$$B$ . В итоге

$\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(\mathbf{r})=-<!--\; -\; -->G\left(\frac{M}{r}+\frac{C-<!--\; -\; -->A}{2r^3}(1-<!--\; -\; -->3{\sin }^2<!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})\right).$$\varphi (\mathbf {r} )=-G\left({\frac {M}{r}}+{\frac {C-A}{2r^{3}}}(1-3\sin ^{2}\alpha )\right).$ 

Движение в гравитационном полеПравить

Если потенциал поля определён, то сила притяжения, действующая в гравитационном поле на материальную точку с массой $m$$m$ , находится по формуле:

$\mathbf{F}(\mathbf{r})=-<!--\; -\; -->m\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(\mathbf{r})=-<!--\; -\; -->Gm{\int <!--\; \int \; -->}_{V^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}}\frac{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}({\mathbf{r}}^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}})(\mathbf{r}-<!--\; -\; -->{\mathbf{r}}^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}})d{V}^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}}{|\mathbf{r}-<!--\; -\; -->{\mathbf{r}}^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}{|}^3}$$\mathbf {F} (\mathbf {r} )=-m\nabla \varphi (\mathbf {r} )=-Gm\int _{V^{\prime }}{\frac {\rho (\mathbf {r} ^{\prime })(\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime })dV^{\prime }}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }|^{3}}}$ .

В частном случае поля точечной массы $M$$M$ , расположенной в начале координат (${\mathbf{r}}^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}=\mathbf{0}$$\mathbf {r} ^{\prime }=\mathbf {0}$ ), действующая сила составит

$\mathbf{F}(\mathbf{r})=-<!--\; -\; -->G\frac{mM}{r^3}\mathbf{r}$$\mathbf {F} (\mathbf {r} )=-G\,{\frac {mM}{r^{3}}}\,\mathbf {r}$ .

Траектория материальной точки в гравитационном поле, создаваемом много большей по массе материальной точкой, подчиняется законам Кеплера. В частности, планеты и кометы в Солнечной системе движутся по эллипсам или гиперболам. Влияние других планет, искажающее эту картину, можно учесть с помощью теории возмущений.

Если исследуемое тело нельзя рассматривать как материальную точку, то его движение в гравитационном поле включает также вращение вокруг оси, проходящей через центр масс:

$\frac{d\mathbf{H}}{dt}=\mathbf{K}.$${\frac {d\mathbf {H} }{dt}}=\mathbf {K} .$ 

Здесь: $\mathbf{H}$$\mathbf {H}$  — угловой момент относительно центра масс, $\mathbf{K}$${\mathbf K}$  — равнодействующая моментов действующих сил относительно центра масс. Более общий случай, когда масса исследуемого тела сравнима с массой источника поля, известен как задача двух тел, и её формулировка сводится к системе двух независимых движений. Исследование движения более чем двух тел («задача трёх тел») разрешимо только в нескольких специальных случаях.

Недостатки ньютоновской модели тяготенияПравить

Практика показала, что классический закон всемирного тяготения позволяет с огромной точностью объяснить и предсказать движения небесных тел. Однако ньютоновская теория содержала ряд серьёзных недостатков. Главный из них — необъяснимое дальнодействие: сила притяжения передавалась неизвестно как через совершенно пустое пространство, причём бесконечно быстро. По существу ньютоновская модель была чисто математической, без какого-либо физического содержания. Кроме того, если Вселенная, как тогда предполагали, евклидова и бесконечна, и при этом средняя плотность вещества в ней ненулевая, то возникает гравитационный парадокс: потенциал поля всюду обращается в бесконечность. В конце XIX века обнаружилась ещё одна проблема: заметное расхождение теоретического и наблюдаемого смещения перигелия Меркурия.

На протяжении более двухсот лет после Ньютона физики предлагали различные пути усовершенствования ньютоновской теории тяготения. Эти усилия увенчались успехом в 1915 году, с созданием общей теории относительности Эйнштейна, в которой все указанные трудности были преодолены. Теория Ньютона оказалась приближением более общей теории, применимым при выполнении двух условий:

1. Гравитационный потенциал в исследуемой системе не слишком велик (много меньше $c^2$$c^{2}$ ). В Солнечной системе это условие для большинства движений небесных тел можно считать выполненным — даже на поверхности Солнца отношение $|\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}|/c^2$$|\varphi |/c^{2}$  составляет всего $2,12\cdot <!--\; \cdot \; -->{10}^{-<!--\; -\; -->6}$$2{,}12\cdot 10^{{-6}}$ . Заметным релятивистским эффектом является только указанное выше смещение перигелия.
2. Скорости движения в этой системе незначительны по сравнению со скоростью света.

Гравитационное поле в общей теории относительностиПравить

Основная статья: Общая теория относительности

В общей теории относительности (ОТО) гравитационное поле является не отдельным физическим понятием, а свойством пространства-времени, появляющимся в присутствии материи. Этим свойством является неевклидовость метрики (геометрии) пространства-времени, и материальным носителем тяготения является пространство-время. Тот факт, что гравитацию можно рассматривать как проявление свойств геометрии четырёхмерного неевклидова пространства, без привлечения дополнительных понятий, есть следствие того, что все тела в поле тяготения получают одинаковое ускорение («принцип эквивалентности» Эйнштейна). Пространство-время при таком подходе приобретает физические атрибуты, которые влияют на физические объекты и сами зависят от них.

Пространство-время ОТО представляет собой псевдориманово многообразие с переменной метрикой. Причиной искривления пространства-времени является присутствие материи, и чем больше её энергия, тем искривление сильнее. В ОТО символы Кристоффеля играют роль гравитационного силового поля, а метрический тензор играет роль гравитационного потенциала. Для определения метрики пространства-времени при известном распределении материи надо решить уравнения Эйнштейна. Ньютоновская же теория тяготения представляет собой приближение ОТО, которое получается, если учитывать только «искривление времени», то есть изменение временно́й компоненты метрики, $g_{00}$$g_{{00}}$  (пространство в этом приближении евклидово). Распространение возмущений гравитации, то есть изменений метрики при движении тяготеющих масс, происходит с конечной скоростью, и дальнодействие в ОТО отсутствует.

Другие существенные отличия гравитационного поля ОТО от ньютоновского: возможность нетривиальной топологии пространства, особых точек, гравитационные волны.

См. такжеПравить

• Уравнение Кеплера
• Гравитационная задача N тел
• Задача Кеплера в общей теории относительности

ЛитератураПравить

• Дубошин Г. Н. . Небесная механика. Основные задачи и методы. — М.: Наука, 1968. — 800 с.
• Иваненко Д. Д., Сарданашвили Г. А. . Гравитация. — 3-е изд. — М.: УРСС, 2008. — 200 с.
• Мензел Д. (ред.). Основные формулы физики. Глава 29. Небесная механика. — М.: Изд. иностранной литературы, 1957. — 658 с.
• Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация. — М.: Мир, 1977.

СсылкиПравить

• Тюлина И. А. Об основах ньютоновой механики (к трёхсотлетию «Начал» Ньютона) // История и методология естественных наук. — М.: МГУ, 1989. — Вып. 36. — С. 184—196..