Позиционная сила

Позиционная сила — сила, действующая на материальную точку и зависящая только от координат материальной точки. Примерами позиционных сил являются: сила упругости, сила всемирного тяготения. Прямолинейные колебания материальной точки под действием позиционной силы всегда являются изохронными.

Прямолинейные колебания точки под действием позиционной силыПравить

При прямолинейном движении по оси $Ox$$Ox$  проекция позиционной силы выражается формулой $P_x=f(x)$$P_{x}=f(x)$ . При начальных данных $t_0,x_0,v_0$$t_{0},x_{0},v_{0}$  согласно закону сохранения энергии, скорость $v$$v$  определяется формулой $v^2=v_0^2+\frac{2}{m}{\int <!--\; \int \; -->}_{x_0}^{x}f(x)dx$$v^{2}=v_{0}^{2}+{\frac {2}{m}}\int _{x_{0}}^{x}f(x)dx$ . Движение происходит на отрезке оси $Ox$$Ox$ , на котором функция $\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)=v_0^2+\frac{2}{m}{\int <!--\; \int \; -->}_{x_0}^{x}f(x)dx$$\psi (x)=v_{0}^{2}+{\frac {2}{m}}\int _{x_{0}}^{x}f(x)dx$  не отрицательна,$\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)⩾<!--\; ⩾\; -->0$$\psi (x)\geqslant 0$ . Если уравнение $\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)=0$$\psi (x)=0$  имеет два простых корня $x_1$$x_{1}$  и $x_2$$x_{2}$ , между которыми лежит начальная абсцисса $x_0$$x_{{0}}$ , так что $\psi (x_{1})=\psi (x_{2})=0,\psi _{1}^{'}(x_{1})>0,\psi _{2}^{'}(x_{2})<0$ , то движение представляет собой колебания на отрезке $x_1⩽<!--\; ⩽\; -->x⩽<!--\; ⩽\; -->x_2$$x_{1}\leqslant x\leqslant x_{2}$  с периодом $\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}={\int <!--\; \int \; -->}_{x_1}^{x_2}\frac{dx}{\sqrt{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)}}$$\tau =\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\frac {dx}{\sqrt {\psi (x)}}}$ . Эти колебания являются изохронными, так как их период постоянен. При $v_{0}<0$  первый момент $t_1$$t_{1}$ , когда точка достигает конца интервала колебания и получает скорость, равную нулю, определяется формулой $t_1=t_0+{\int <!--\; \int \; -->}_{x_0}^{x_1}\frac{dx}{\sqrt{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)}}$$t_{1}=t_{0}+\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\frac {dx}{\sqrt {\psi (x)}}}$ , последующие моменты, в которые $v=0$$v=0$ , связаны друг с другом соотношением $t_n=t_{n-<!--\; -\; -->1}+\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$t_{n}=t_{n-1}+\tau$