Поверхность Лиувилля

Поверхность Лиувилля ― поверхность, уравнения геодезических линий которой допускают нетривиальный квадратичный интеграл, то есть квадратичную форму $a$$a$, отличную от метрического тензора поверхности, такую что для любой геодезической $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}(t)$$\gamma (t)$,

$a(\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}(t),\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}(t))=const$$a({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))=const$

Названы в честь Жозефа Лиувилля.

ПримерыПравить

• Поверхность постоянной гауссовой кривизны.
• Центральносимметричные поверхности второго порядка.

СвойстваПравить

• Для того чтобы поверхность допускала геодезическое отображение на плоскость, необходимо и достаточно, чтобы она являлась поверхностью Лиувилля (теорема Дини).
• Если поверхность допускает сеть Лиувилля, то она является поверхностью Лиувилля.