Поверхность Боя

Поверхность Боя — первый известный пример погружения вещественной проективной плоскости в трёхмерное евклидово пространство.

Модель поверхности Боя в Обервольфахе

ИсторияПравить

Поверхность построена Вернером Боем в 1901 году. По предложению Гильберта, Бою требовалось доказать, что проективная плоскость не допускает таких погружений.

ПостроениеПравить

Начните со сферического колпака.
Разделите его край на шесть равных частей и прикрепите к чётным частям три полоски.
Согните каждую полоску и прикрепите другой конец к противоположному участку края колпака. При проходе через полоску должна обращаться ориентация
Склеить оставшиеся края полосок.

СвойстваПравить

Поверхность Боя имеет трёхкратную осевую симметрию. То есть, существует ось такая, что любой поворот на 120° вокруг этой оси будет переводит поверхность в себя.
- В частности, поверхность Боя можно разрезать на три попарно конгруэнтные части.
Поверхность Боя появляется на полпути в реализации выворачивания сферы.

Параметризация Брайанта — КунсераПравить

Наиболее естественная параметризация была предложена Робом Кунсером и Робертом Брайантом^[en].^[1]

Для комплексного числа $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $w$ , пусть

\text{[math]}

{\begin{aligned}g_{1}&=-{3 \over 2}\cdot \mathrm {Im} \left[{w\cdot (1-w^{4}) \over w^{6}+{\sqrt {5}}\cdot w^{3}-1}\right]\\g_{2}&=-{3 \over 2}\cdot \mathrm {Re} \left[{w\cdot (1+w^{4}) \over w^{6}+{\sqrt {5}}\cdot w^{3}-1}\right]\\g_{3}&=\mathrm {Im} \left[{1+w^{6} \over w^{6}+{\sqrt {5}}\cdot w^{3}-1}\right]-{1 \over 2}\\\end{aligned}}

Поверхность $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $w\mapsto (g_{1},\;g_{2},\;g_{3})$ является минимальной поверхностью с тремя концами. Её инверсия, то есть поверхность $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $w\mapsto (x,\;y,\;z)$ задаваемая как

\text{[math]}

{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\frac {1}{g_{1}^{2}+g_{2}^{2}+g_{3}^{2}}}\cdot {\begin{pmatrix}g_{1}\\g_{2}\\g_{3}\end{pmatrix}}.

и есть поверхности Боя.

ЗамечанияПравить

Поверхность остаётся неизменной при замене $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $w\mapsto -{\tfrac {1}{\bar {w}}}$ , где $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ${\bar {w}}$ комплексно-сопряженное к $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $w$ .