Плюригармоническая функция

Плюригармоническая функция — такая многомерная, два раза непрерывно дифференцируемая, функция комплексного переменного $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $f\colon G\subset {\mathbb {C} }^{n}\to {\mathbb {C} }$ $f\colon G\subset {\mathbb {C} }^{n}\to {\mathbb {C} }$ , что на любой комплексной прямой $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\{a+bz\mid z\in {\mathbb {C} }\}$ $\{a+bz\mid z\in {\mathbb {C} }\}$ функция

\text{[math]}

z\mapsto f(a+bz)

z\mapsto f(a+bz)

есть гармоническая функция на множестве

\text{[math]}

\{z\in {\mathbb {C} }\mid a+bz\in G\}

\{z\in {\mathbb {C} }\mid a+bz\in G\}

.

ПримечанияПравить

Каждая плюригармоническая функция является гармонической функцией, но не наоборот. Кроме того, может быть показано, что для голоморфной функции нескольких комплексных переменных её реальная (и мнимая) части являются локально плюригармоническими функциями. Однако, если функция гармоническая по каждой переменной в отдельности, это не означает, что она плюригармоническая.

ЛитератураПравить

Steven G. Krantz. Funktion theory of several complex variables. — AMS Chelsea Publishing, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 2001.
Виноградов И.М. Математическая энциклопедия. В 5-и томах. — М.: Советская энциклопедия, 1984. — 608 с.
Владимиров В.С. Методы теории функций многих комплексных переменных. — М.: Наука, 1964. — 412 с.
Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1979. — 320 с.
Ганнинг Р., Росси Х. Аналитические функции многих комплексных переменных. — М.: Мир, 1969. — 396 с.
Рудин У. Теория функций в единичном шаре из $C^n$. — М.: Мир, 1984. — 456 с.
Фукс Б.А. Введение в теорию аналитических функций многих комплексных переменных. — М.: Гос. изд. физ.- мат. лит., 1962. — 420 с.
Фукс Б.А. Специальные главы теории аналитических функций многих комплексных переменных. — М.: Гос. изд. физ.- мат. лит., 1963. — 428 с. с.
Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. В 2-х томах. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1976. — 720 с.

См. такжеПравить

Плюрисубгармоническая функция