Плюккеровы координаты

Плюккеровы координаты — координаты (наборы чисел), определяющие подпространства $M$$M$ (произвольной размерности) векторного или проективного пространства $L$$L$. Являются обобщением однородных координат точек проективного пространства и также определены с точностью до умножения на произвольный ненулевой множитель. Впервые введены Плюккером в частном случае проективных прямых в трёхмерном проективном пространстве, что соответствует случаю $\dim <!--\; \; -->M=2$$\dim M=2$ и $\dim <!--\; \; -->L=4$$\dim L=4$ для векторных пространств.

Определение в координатахПравить

Пусть $M$$M$  — $m$$m$ -мерное подпространство $n$$n$ -мерного векторного пространства $L$$L$ . Для определения плюккеровых координат подпространства $M$$M$  выберем произвольный базис $e_1,\dots <!--\; \dots \; -->,e_n$$e_{1},\;\ldots ,\;e_{n}$  в $L$$L$  и произвольный базис $a_1,\dots <!--\; \dots \; -->,a_m$$a_{1},\;\ldots ,\;a_{m}$  в $M$$M$ . Каждый вектор $a_i$$a_{i}$  имеет в базисе $e_1,\dots <!--\; \dots \; -->,e_n$$e_{1},\;\ldots ,\;e_{n}$  координаты $(a_{i1},\dots <!--\; \dots \; -->,a_{in})$$(a_{i1},\;\ldots ,\;a_{in})$ , то есть $a_i=a_{i1}{e}_1+\dots <!--\; \dots \; -->+a_{in}{e}_n$$a_{i}=a_{i1}e_{1}+\ldots +a_{in}e_{n}$ . Записывая координаты векторов $a_1,\dots <!--\; \dots \; -->,a_m$$a_{1},\;\ldots ,\;a_{m}$  в виде строк, получим матрицу

$A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{pmatrix}},$ 

ранг которой равен $m$$m$ . Обозначим через $M_{i_1,\dots <!--\; \dots \; -->,i_m}$$M_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}$  минор матрицы $A$$A$ , состоящий из столбцов с номерами $i_1,\dots <!--\; \dots \; -->,i_m$$i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}$ , принимающими значения от $1$$1$  до $n$$n$ . Числа $M_{i_1,\dots <!--\; \dots \; -->,i_m}$$M_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}$  не независимы: если набор индексов $(i_1,\dots <!--\; \dots \; -->,i_m)$$(i_{1},\;\ldots ,\;i_{m})$  получен из $(j_1,\dots <!--\; \dots \; -->,j_m)$$(j_{1},\;\ldots ,\;j_{m})$  с помощью перестановки $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}\in <!--\; \in \; -->S_m$$\sigma \in S_{m}$ , то имеет место равенство $M_{i_1,\dots <!--\; \dots \; -->,i_m}=\pm <!--\; \pm \; -->M_{j_1,\dots <!--\; \dots \; -->,j_m}$$M_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}=\pm M_{j_{1},\;\ldots ,\;j_{m}}$ , где знак «плюс» или «минус» соответствует тому, является ли перестановка $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$$\sigma$  чётной или нечётной. Рассматриваемая с точностью до умножения на общий ненулевой множитель совокупность $C_n^m$$C_{n}^{m}$  чисел $p_{i_1,\dots <!--\; \dots \; -->,i_m}=M_{i_1,\dots <!--\; \dots \; -->,i_m}$$p_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}=M_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}$  для всех упорядоченных наборов индексов $i_{1}<\ldots <i_{m}$ , принимающих значения от $1$$1$  до $n$$n$ , называется плюккеровыми координатами подпространства $M$$M$ .

СвойстваПравить

1. Независимость от выбора базиса.

Если в подпространстве $M$$M$  выбран другой базис $a_1^{\prime },\dots <!--\; \dots \; -->,a_m^{\prime }$$a'_{1},\;\ldots ,\;a'_{m}$ , то новый набор плюккеровых координат $p_{i_1,\dots <!--\; \dots \; -->,i_m}^{\prime }$$p'_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}$  будет иметь вид $p_{i_1,\dots <!--\; \dots \; -->,i_m}^{\prime }=c\cdot <!--\; \cdot \; -->p_{i_1,\dots <!--\; \dots \; -->,i_m}$$p'_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}=c\cdot p_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}$ , где $c$$c$  — некоторый ненулевой множитель. Действительно, новый базис связан со старым соотношениями $a_i^{\prime }=a_{i1}^{\prime }{a}_1+\cdots <!--\; \cdots \; -->+a_{im}^{\prime }{a}_m$$a'_{i}=a'_{i1}a_{1}+\cdots +a'_{im}a_{m}$ , и определитель матрицы $(a_{ij}^{\prime })$$(a'_{ij})$  отличен от нуля. Согласно определению плюккеровых координат и теореме об определителе произведения матриц, имеем $p_{i_1,\dots <!--\; \dots \; -->,i_m}^{\prime }=c\cdot <!--\; \cdot \; -->p_{i_1,\dots <!--\; \dots \; -->,i_m}$$p'_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}=c\cdot p_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}$ , где $c=det(a_{ij}^{\prime })$$c=\det(a'_{ij})$ .

2. Грассманиан.

Ставя в соответствие каждому $m$$m$ -мерному подпространству $M$$M$  набор его плюккеровых координат $p_{i_1,\dots <!--\; \dots \; -->,i_m}$$p_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}$ , мы сопоставляем $M$$M$  некоторую точку проективного пространства $P$$P$  размерности $C_n^m-<!--\; -\; -->1$$C_{n}^{m}-1$ . Построенное таким образом отображение $g$$g$  инъективно, но не сюръективно (то есть его образ не совпадает со всем пространством $P$$P$ ). Образ множества всех $m$$m$ -мерных подпространств $n$$n$ -мерного пространства при отображении $g$$g$  является $m(n-<!--\; -\; -->m)$$m(n-m)$ -мерным проективным алгебраическим многообразием в $P$$P$ , называемым многообразием Грассмана или грассманианом и обозначаемым $G(m,n)$$G(m,\;n)$  или ${\mathrm{G}\mathrm{r}}_m(L)$$\mathrm {Gr} _{m}(L)$ .

3. Соотношения Плюккера.

Критерием, с помощью которого можно определить, принадлежит ли данная точка проективного пространства $P$$P$  грассманиану $G(m,n)$$G(m,\;n)$ , являются так называемые соотношения Плюккера:

$\underset{r=1}{\overset{m+1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(-<!--\; -\; -->1{)}^r{p}_{j_1,\dots <!--\; \dots \; -->,j_{m-<!--\; -\; -->1}{k}_r}\cdot <!--\; \cdot \; -->p_{k_1,\dots <!--\; \dots \; -->,\stackrel{˘<!--\; ˘\; -->}{k_r},\dots <!--\; \dots \; -->,k_{m+1}}=0,\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}(j_1,\dots <!--\; \dots \; -->,j_{m-<!--\; -\; -->1}),\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}(k_1,\dots <!--\; \dots \; -->,k_{m+1}),$$\sum _{r=1}^{m+1}(-1)^{r}p_{j_{1},\;\ldots ,\;j_{m-1}k_{r}}\cdot p_{k_{1},\;\ldots ,\;{\breve {k_{r}}},\;\ldots ,\;k_{m+1}}=0,\quad \forall \,(j_{1},\;\ldots ,\;j_{m-1}),\quad \forall \,(k_{1},\;\ldots ,\;k_{m+1}),$ 

где все индексы в наборах $(j_1,\dots <!--\; \dots \; -->,j_{m-<!--\; -\; -->1})$$(j_{1},\;\ldots ,\;j_{m-1})$  и $(k_1,\dots <!--\; \dots \; -->,k_{m+1})$$(k_{1},\;\ldots ,\;k_{m+1})$  принимают значения от $1$$1$  до $n$$n$ , знак $\stackrel{˘<!--\; ˘\; -->}{}$${\breve {}}$  обозначает пропуск стоящего под ним индекса. Данная сумма получается, если из совокупности $(k_1,\dots <!--\; \dots \; -->,k_{m+1})$$(k_{1},\;\ldots ,\;k_{m+1})$  выбрасывается поочередно по одному индексу и этот индекс приписывается справа к набору $(j_1,\dots <!--\; \dots \; -->,j_{m-<!--\; -\; -->1})$$(j_{1},\;\ldots ,\;j_{m-1})$ , потом два получившихся числа $p_{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_m}=M_{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_m}$$p_{\alpha _{1},\;\ldots ,\;\alpha _{m}}=M_{\alpha _{1},\;\ldots ,\;\alpha _{m}}$  перемножаются (заметим, что эти числа являются минорами матрицы $A$$A$ , но не обязательно являются плюккеровыми координатами, так как наборы их индексов не обязательно упорядочены по возрастанию) и затем берётся сумма всех таких произведений с чередующимися знаками. Соотношения Плюккера выполнены для каждого $m$$m$ -мерного подпространства $M\subset <!--\; \subset \; -->L$$M\subset L$ . И обратно, если однородные координаты $p_{i_1,\dots <!--\; \dots \; -->,i_m}$$p_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}$ , $i_{1}<\ldots <i_{m}$ , некоторой точки проективного пространства $P$$P$  удовлетворяют этим соотношениям, то эта точка при отображении $g$$g$  соответствует некоторому подпространству $M\subset <!--\; \subset \; -->L$$M\subset L$ , то есть принадлежит $G(m,n)$$G(m,\;n)$ .

На языке матриц это означает: если числа $p_{i_1,\dots <!--\; \dots \; -->,i_m}$$p_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}$  удовлетворяют соотношениям Плюккера, то существует матрица, для которой они являются минорами максимального порядка, а если нет, то не существует такой матрицы. Что решает задачу о возможности восстановления матрицы по её минорам максимального порядка, с точностью до линейного преобразования строк.

ПримерПравить

В случае $n=4$$n=4$  и $m=2$$m=2$  имеем $C_4^2=6$$C_{4}^{2}=6$ , и следовательно, каждая плоскость $M$$M$  в 4-мерном векторном пространстве имеет $6$$6$  плюккеровых координат: $p_{12}$$p_{12}$ , $p_{13}$$p_{13}$ , $p_{14}$$p_{14}$ , $p_{23}$$p_{23}$ , $p_{24}$$p_{24}$ , $p_{34}$$p_{34}$ . Выбирая в плоскости $M$$M$  базис $a_1,a_2$$a_{1},\;a_{2}$  таким образом, что $a_1=e_1$$a_{1}=e_{1}$  и $a_2=e_2$$a_{2}=e_{2}$ , получаем матрицу

$A={\begin{pmatrix}1&0&\alpha &\beta \\0&1&\gamma &\delta \\\end{pmatrix}},$ 

откуда находим:

$p_{12}=1$$p_{12}=1$ , $p_{13}=\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$$p_{13}=\gamma$ , $p_{14}=\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}$$p_{14}=\delta$ , $p_{23}=-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$p_{23}=-\alpha$ , $p_{24}=-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$p_{24}=-\beta$ , $p_{34}=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$$p_{34}=\alpha \delta -\beta \gamma$ .

Очевидно, что имеет место соотношение

$p_{12}{p}_{34}-<!--\; -\; -->p_{13}{p}_{24}+p_{14}{p}_{23}=0$$p_{12}p_{34}-p_{13}p_{24}+p_{14}p_{23}=0$ ,

сохраняющееся при умножении всех $p_{i_1{i}_2}$$p_{i_{1}i_{2}}$  на любой общий множитель, то есть не зависящее от выбора базиса. Это и есть соотношение Плюккера, определяющее проективную квадрику $G(2,4)$$G(2,\;4)$  в 5-мерном проективном пространстве.

ЛитератураПравить

• Картан Э. Внешние дифференциальные системы и их геометрические проблемы. — М.: изд-во МГУ, 1962.
• Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении. — М.: Факториал, 1998.
• Ходж В., Пидо Д. Методы алгебраической геометрии. — Т. 1. — М.: ИЛ, 1954. (Здесь плюккеровы координаты названы грассмановыми).
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Физматлит, 2009.
• Casas-Alvero E. Analytic Projective Geometry. — : European Mathematical Society, 2014.