Плитка Соколара — Тейлор

Плитка Соколара — Тейлор — это одиночная плитка, которая апериодична на плоскости, что означает, что возможны только непериодичные замощения на плоскости при разрешении вращения и зеркального отражения. Плитка была первым примером одиночной апериодичной плитки, или «einstein» (игра слов, нем. ein stein означает «один камень», и так же записывается фамилия физика Альберта Эйнштейна). Базовая версия плитки — простой шестиугольник с некоторым узором для обеспечения локального правила соединения. Это правило не может быть геометрически реализовано в двухмерном пространстве в виде связной плитки, однако существует несвязный вариант, для которого узор уже не нужен (на картинках узор присутствует для понимания общей структуры).

Также можно реализовать связную плитку в трёхмерном пространстве — ещё в оригинальной статье Соколар и Тейлор предложили трёхмерный аналог моноплитки. Соколар и Тейлор заметили, что трёхмерная плитка замощает апериодично трёхмерное пространство. Однако плитка позволяет замощению периодичность, если сдвигать один (непериодичный) двумерный слой на другой слой, так что плитка лишь «слабо апериодична». Физические трёхмерные плитки не могут быть соединены вместе без разрешения зеркальной копии, что потребовало бы выход в четырёхмерное пространство.

ГалереяПравить

•  

  Геометрическое представление моноплитки. Чёрные линии используются для принуждения апериодичности.

•  

  Трёхмерный аналог плитки без узора на плитке — правила соединения реализуются геометрически.

•  

  Трёхмерный аналог моноплитки с узором на плитке, реализующем правила соединения. Красные линии включены лишь для отражения структуры плитки.
  Заметим, что это тело является связным.

•  

  Часть замощения трёхмерного пространства моноплиткой.

•  

  Замощение трёхмерного пространства с удалённой одной плиткой, чтобы показать структуру.

ЛитератураПравить

• Joshua E. S. Socolar, Joan M. Taylor. An aperiodic hexagonal tile // Journal of Combinatorial Theory. — 2011. — Т. 118, вып. 8. — С. 2207–2231. — doi:10.1016/j.jcta.2011.05.001. — arXiv:1003.4279.
• Joshua E. S. Socolar, Joan M. Taylor. Forcing nonperiodicity with a single tile // The Mathematical Intelligencer. — 2012. — Т. 34, вып. 1. — С. 18–28. — doi:10.1007/s00283-011-9255-y. — arXiv:1009.1419.
• Edmund Harriss. Socolar and Taylor's Aperiodic Tile  (неопр.). Maxwell's Demon. Дата обращения: 3 июня 2013.
• Dirk Frettlöh. Hexagonal aperiodic monotile  (неопр.). Tilings Encyclopedia. Дата обращения: 3 июня 2013. Архивировано из оригинала 15 мая 2014 года.

СсылкиПравить

• Previewable digital models of the three-dimensional tile, suitable for 3D printing, at Thingiverse
• Original diagrams and further information on Joan Taylor’s personal website