Планковская энергия

Пла́нковская эне́ргия — физическая константа, численно равная планковской массе, умноженной на квадрат скорости света. В планковской системе единиц планковская энергия является единицей измерения энергии. Обозначается $E_{\text{P}}$$E_{\text{P}}$.

$E_{\text{P}}=m_{\text{P}}{c}^2=\sqrt{\frac{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}{c}^5}{G}}\approx <!--\; \approx \; -->$$E_{\text{P}}=m_{\text{P}}c^{2}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{G}}}\approx$ 1,956⋅10⁹ Дж $\approx <!--\; \approx \; -->$$\approx$ 1,22⋅10²⁸ эВ $\approx <!--\; \approx \; -->$$\approx$ 543,3 кВт·ч $\approx <!--\; \approx \; -->$$\approx$ 4,6718⋅10⁸ кал.

Для сравнения, она превосходит примерно на восемь порядков максимальную измеренную энергию космических лучей и примерно на 6% дульную энергию мощнейшего артиллерийского орудия в истории — 800-мм железнодорожной пушки Дора:

$E_{\text{Dora}}=\frac{m{v}^2}{2}\approx <!--\; \approx \; -->\frac{7100\ast <!--\; \ast \; -->{720}^2}{2}\approx <!--\; \approx \; -->$$E_{\text{Dora}}={\frac {mv^{2}}{2}}\approx {\frac {7100*720^{2}}{2}}\approx$ 1,840⋅10⁹ Дж $\approx <!--\; \approx \; -->$$\approx$ 511,11 кВт⋅ч

Для ускорения элементарных частиц до планковской энергии пришлось бы строить ускоритель, кольцо которого имело бы протяженность порядка 10 световых лет.

В планковскую эпоху, примерно 13,8 млрд лет назад, вещество Вселенной имело планковскую энергию, планковский радиус (10⁻³⁵ м), планковскую температуру (10³² К) и планковскую плотность (~10⁹⁷ кг/м³).

Связь энергии фотона и гравитационной задержки сигналаПравить

Для сигнала, путешествующего вокруг точечной гравитирующей массы, гравитационная задержка может быть вычислена по следующей формуле:

$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}t=-<!--\; -\; -->\frac{2GM}{c^3}\ln <!--\; \; -->(1-<!--\; -\; -->\mathbf{R}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{x}).$$\Delta t=-{\frac {2GM}{c^{3}}}\ln(1-{\mathbf {R}}\cdot {\mathbf {x}}).$  (1)

Здесь $\mathbf{R}$$\mathbf {R}$  — это единичный вектор, направленный от наблюдателя к источнику, а $\mathbf{x}$$\mathbf {x}$  — единичный вектор, направленный от наблюдателя к гравитирующей точке массы M.

Отсюда следует, что для того, чтобы вызвать задержку сигнала, равную фиксированному и априори заданному промежутку времени $\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$\tau$ , требуется масса

$M=-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}{c}^3}{2ln(1-<!--\; -\; -->\mathbf{R}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{x})G}.$$M=-{\frac {\tau c^{3}}{2ln(1-\mathbf {R} \cdot \mathbf {x} )G}}.$  (2)

Энергия, эквивалентная данной массе, равна:

$E_1(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})=-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}{c}^5}{2ln(1-<!--\; -\; -->\mathbf{R}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{x})G}.$$E_{1}(\tau )=-{\frac {\tau c^{5}}{2ln(1-\mathbf {R} \cdot \mathbf {x} )G}}.$  (3)

С другой стороны энергия кванта ЭМ излучения с периодом $\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$\tau$  равна

$E_2(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})=\frac{h}{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}=\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}.$$E_{2}(\tau )={\frac {h}{\tau }}={\frac {2\pi \hbar }{\tau }}.$  (4)

Произведение этих двух энергий, определяемых формулами (3) и (4), равно:

$E_1(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})E_2(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})=-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}{c}^5}{2ln(1-<!--\; -\; -->\mathbf{R}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{x})G}\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}=-<!--\; -\; -->\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}{c}^5}{2ln(1-<!--\; -\; -->\mathbf{R}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{x})G}=-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}{c}^5}{ln(1-<!--\; -\; -->\mathbf{R}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{x})G}=-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{E}_{\text{P}}^2}{ln(1-<!--\; -\; -->\mathbf{R}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{x})}.$$E_{1}(\tau )E_{2}(\tau )=-{\frac {\tau c^{5}}{2ln(1-\mathbf {R} \cdot \mathbf {x} )G}}{\frac {2\pi \hbar }{\tau }}=-{\frac {2\pi \hbar c^{5}}{2ln(1-\mathbf {R} \cdot \mathbf {x} )G}}=-{\frac {\pi \hbar c^{5}}{ln(1-\mathbf {R} \cdot \mathbf {x} )G}}=-{\frac {\pi E_{\text{P}}^{2}}{ln(1-\mathbf {R} \cdot \mathbf {x} )}}.$  (5)

Таким образом, произведение энергии, эквивалентной массе, вызывающей задержку, равную $\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$\tau$ , и энергии фотона с периодом $\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$\tau$  не зависит от $\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$\tau$  и равно квадрату планковской энергии с точностью до безразмерного коэффициента : $-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{ln(1-<!--\; -\; -->\mathbf{R}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{x})}$$-{\frac {\pi }{ln(1-\mathbf {R} \cdot \mathbf {x} )}}$ .

Соответственно, отношение этих 2 энергий равно

$\frac{E_1(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})}{E_2(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})}=-<!--\; -\; -->\frac{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^2{c}^5}{4G\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}ln(1-<!--\; -\; -->\mathbf{R}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{x})\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}==\frac{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^2}{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}ln(1-<!--\; -\; -->\mathbf{R}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{x})t_{\text{P}}^2}=-<!--\; -\; -->\frac{1}{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}ln(1-<!--\; -\; -->\mathbf{R}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{x})}(\frac{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}{t_{\text{P}}}{)}^2.$${\frac {E_{1}(\tau )}{E_{2}(\tau )}}=-{\frac {\tau ^{2}c^{5}}{4G\pi ln(1-\mathbf {R} \cdot \mathbf {x} )\hbar }}=={\frac {\tau ^{2}}{4\pi ln(1-\mathbf {R} \cdot \mathbf {x} )t_{\text{P}}^{2}}}=-{\frac {1}{4\pi ln(1-\mathbf {R} \cdot \mathbf {x} )}}({\frac {\tau }{t_{\text{P}}}})^{2}.$  (6)

Где $t_{\text{P}}$$t_{\text{P}}$  — планковское время.

См. такжеПравить

• Планковская эпоха
• Максимон
• Планковская чёрная дыра
• Энергия великого объединения

ЛитератураПравить

• Peter J. Mohr and Barry N. Taylor. CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2002 (англ.) // Reviews of Modern Physics : journal. — January 2005. — Vol. 77. — P. 1—107.

СсылкиПравить

• Лекции по Общей Астрофизике для . 1.5 Планковские единицы