Плазменные волны в графене

Как и в обычных полупроводниках, в графене электронно-дырочный газ можно рассматривать как плазму, и, соответственно, ставить вопрос о том, какие волны могут наблюдаться в твёрдом теле. Благодаря отличию закона дисперсии от параболического ожидается, что и свойства волн будут другими. Плазменные волны в ДЭГ в графене теоретически рассматривались в работе .

ВыводПравить

Кинетическое уравнение для электронов в графене в бесстолкновительном приближении запишется в виде

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}+{\mathbf{v}}_p\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathbf{r}}+e\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathbf{r}}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathbf{p}}=0.(4.1)$${\frac {\partial f}{\partial t}}+\mathbf {v} _{p}{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} }}+e{\frac {\partial \phi }{\partial \mathbf {r} }}{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}=0.\qquad (4.1)$ 

Здесь функция распределения электронов $f=f(\mathbf{r},\mathbf{p},t)$$f=f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)$  зависит от координат, импульсов и времени. $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}=\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(\mathbf{r},t)$$\phi =\phi (\mathbf {r} ,t)$  — потенциал создаваемый ДЭГ. Так как графен двумерная система, то вектор импульса имеет только две координаты $\mathbf{p}=(p_x,p_y)$$\mathbf {p} =(p_{x},p_{y})$ . Также скорость электронов задаётся формулой ${\mathbf{v}}_{\mathbf{p}}=v_F\frac{\mathbf{p}}{p}$$\mathbf {v} _{\mathbf {p} }=v_{F}{\frac {\mathbf {p} }{p}}$ , где $p=|\mathbf{p}|$$p=|\mathbf {p} |$ .

Уравнение Пуассона, которое связывает концентрацию и распределение потенциала в графене, можно свести к уравнению

$\frac{V_g-<!--\; -\; -->\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}{W_g}=\frac{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}e}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->},(4.2)$${\frac {V_{g}-\phi }{W_{g}}}={\frac {4\pi e}{\varepsilon }}\Sigma ,\qquad (4.2)$ 

где $V_g$$V_{g}$  — приложенное напряжение на затворе, которым можно управлять концентрацией, $W_g$$W_{g}$  — толщина диэлектрика с диэлектрической проницаемостью $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$\varepsilon$ , а концентрация электронов $\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}$$\Sigma$  задаётся по формуле

$\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}=\frac{g_s{g}_v}{(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}{)}^2}\int <!--\; \int \; -->d^2\mathbf{p}f,(4.3)$$\Sigma ={\frac {g_{s}g_{v}}{(2\pi \hbar )^{2}}}\int {d^{2}\mathbf {p} f},\qquad (4.3)$ 

которая аналогична выражению (3.3).

Совместное решение уравнений (4.1) и (4.2) в виде плоских даёт ответ на вопрос о плазменных волнах в графене.

Решение уравнения (4.1) ищется в виде

$f(\mathbf{r},\mathbf{p},t)=f_0+\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}f(p)e^{i(kx-<!--\; -\; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t)},(4.4)$$f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)=f_{0}+\delta f(p)e^{i(kx-\omega t)},\qquad (4.4)$ 

где к равновесной функции распределения (распределение Ферми — Дирака) добавляется малая поправка в виде плоской волны ($|\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}f|\ll <!--\; \ll \; -->f_0$$|\delta f|\ll f_{0}$ ). Потенциал также является малым возмущением (по сравнению с $V_g$$V_{g}$ )

$\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(\mathbf{r},t)=\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}{e}^{i(kx-<!--\; -\; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t)}.(4.5)$$\phi (\mathbf {r} ,t)=\delta \phi e^{i(kx-\omega t)}.\qquad (4.5)$ 

При подстановки решений (4.4) и (4.5) в (4.1) и (4.2) приходим к уравнениям на $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}f(p)$$\delta f(p)$  и $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}$$\delta \phi$  с точностью до первого порядка малости

$\left(k{v}_F\frac{p_x}{p}-<!--\; -\; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\right)\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}f=-<!--\; -\; -->ek\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{f}_0}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{p}_x}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->},(4.6)$$\left(kv_{F}{\frac {p_{x}}{p}}-\omega \right)\delta f=-ek{\frac {\partial f_{0}}{\partial p_{x}}}\delta \phi ,\qquad (4.6)$ 

$\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}=-<!--\; -\; -->\frac{2e{W}_g}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2}\int <!--\; \int \; -->d^2\mathbf{p}f.(4.7)$$\delta \phi =-{\frac {2eW_{g}}{\pi \varepsilon \hbar ^{2}}}\int {d^{2}\mathbf {p} f}.\qquad (4.7)$ 

Эти уравнения легко решаются если электронный газ вырожден, то есть $k_{B}T\ll <!--\; \ll \; -->E_F$$k_{B}T\ll E_{F}$ . Для $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}>v_{F}k$$\omega >v_{F}k$  получим линейное дисперсионное соотношение для плазменных волн в графене

$\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=\frac{k{v}_F}{\sqrt{1-<!--\; -\; -->{\left(\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+1}\right)}^2}}=ks,(4.7)$$\omega ={\frac {kv_{F}}{\sqrt {1-\left({\frac {\alpha }{\alpha +1}}\right)^{2}}}}=ks,\qquad (4.7)$ 

где

$\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\sqrt{\frac{4g_s{g}_v{e}^3{W}_g{V}_g}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2{v}_F^2}}.(4.8)$$\alpha ={\sqrt {\frac {4g_{s}g_{v}e^{3}W_{g}V_{g}}{\varepsilon \hbar ^{2}v_{F}^{2}}}}.\qquad (4.8)$ .

Фазовая и групповая скорости равны

$s=\frac{v_F}{\sqrt{1-<!--\; -\; -->{\left(\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+1}\right)}^2}}.(4.9)$$s={\frac {v_{F}}{\sqrt {1-\left({\frac {\alpha }{\alpha +1}}\right)^{2}}}}.\qquad (4.9)$ 

Учёт конечных температур и, соответственно, термически возбуждённых дырок рассмотрен в работе .

См. такжеПравить

• Графен