Пирамидальное число

Пирамидальное число — пространственная разновидность фигурных чисел, представляющее пирамиду с многоугольным основанием и заданным числом треугольных боковых сторон. Уже античные математики исследовали тетраэдральные и квадратные пирамидальные числа, для которых в основании лежат правильный треугольник и квадрат соответственно. Несложно определить числа, связанные с пирамидами, в основании которых лежит любой другой многоугольник, например:

Геометрическое представление квадратного пирамидального числа: ${\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}}_4^{(4)}=1+4+9+16=30$$\Pi _{4}^{(4)}=1+4+9+16=30$.

• Пятиугольное пирамидальное число^[en].
• Шестиугольное пирамидальное число^[en].
• Семиугольное пирамидальное число^[en].

ОпределениеПравить

Пирамидальные числа определяются следующим образом.

$n$$n$ -е по порядку $k$$k$ -угольное пирамидальное число ${\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}}_n^{(k)}$$\Pi _{n}^{(k)}$  есть сумма первых $n$$n$  плоских фигурных чисел $P_n^{(k)}$$P_{n}^{(k)}$  с тем же числом углов $k$$k$ : ${\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}}_n^{(k)}=P_1^{(k)}+P_2^{(k)}+P_3^{(k)}+\cdots <!--\; \cdots \; -->+P_n^{(k)}$$\Pi _{n}^{(k)}=P_{1}^{(k)}+P_{2}^{(k)}+P_{3}^{(k)}+\dots +P_{n}^{(k)}$

Геометрически пирамидальное число ${\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}}_n^{(k)}$$\Pi _{n}^{(k)}$  можно представить как пирамиду из $n$$n$  слоёв (см. рисунок), каждый из которых содержит от 1 (верхний слой) до $P_n^{(k)}$$P_{n}^{(k)}$  (нижний) шаров.

По индукции нетрудно доказать общую формулу для пирамидального числа, известную ещё Архимеду:

${\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}}_n^{(k)}=\frac{n(n+1)((k-<!--\; -\; -->2)n-<!--\; -\; -->k+5)}{6}$$\Pi _{n}^{(k)}={\frac {n(n+1)((k-2)n-k+5)}{6}}$

(ОПФ)

Правую часть этой формулы можно также выразить через плоские многоугольные числа:

${\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}}_n^{(k)}=\frac{(k-<!--\; -\; -->2)n-<!--\; -\; -->k+5}{3}{P}_n^{(3)}=\frac{n+1}{6}(2P_n^{(k)}+n)$$\Pi _{n}^{(k)}={\frac {(k-2)n-k+5}{3}}P_{n}^{(3)}={\frac {n+1}{6}}(2P_{n}^{(k)}+n)$ 

ЛитератураПравить

• Виленкин Н. Я., Шибасов Л. П. Шибасова 3. Ф. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия. — М.: Просвещение, 1996. — С. 30. — 320 с. — ISBN 5-09-006575-6.
• Глейзер Г. И. История математики в школе. — М.: Просвещение, 1964. — 376 с.
• Деза Е., Деза М. Фигурные числа. — М.: МЦНМО, 2016. — 349 с. — ISBN 978-5-4439-2400-7.

СсылкиПравить

• Фигурные числа Архивная копия от 23 ноября 2018 на Wayback Machine
• Figurate Numbers Архивная копия от 10 июня 2019 на Wayback Machine на сайте MathWorld (англ.)
• Centered Polygonal Number Архивная копия от 18 марта 2020 на Wayback Machine на сайте MathWorld (англ.)