Перъединичная матрица

Перъединичная матрица (обменная матрица) — квадратная матрица, все элементы побочной диагонали которой равны 1, а остальные — 0 (то есть антидиагональная единичная^[1]):

\text{[math]}

J_{2}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}

J_{2}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}

;

\text{[math]}

J_{3}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}

J_{3}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}

;

\text{[math]}

J_{n}={\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0&0&1\\0&0&\cdots &0&1&0\\0&0&\cdots &1&0&0\\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots &\vdots \\0&1&\cdots &0&0&0\\1&0&\cdots &0&0&0\end{pmatrix}}

J_{n}={\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0&0&1\\0&0&\cdots &0&1&0\\0&0&\cdots &1&0&0\\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots &\vdots \\0&1&\cdots &0&0&0\\1&0&\cdots &0&0&0\end{pmatrix}}

.

С помощью символа Кронекера можно записать определение элементов перъединичной матрицы как $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $J_{ij}=\delta _{n+1-i,j}$ $J_{ij}=\delta _{n+1-i,j}$ .

Является матрицей перестановки: она переставляет все строки матрицы в обратном порядке, если умножается слева на эту матрицу, и переставляет в обратном порядке столбцы, если умножается справа.

Некоторые свойства:

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $J^{\intercal }=J$ $J^{\intercal }=J$ ;
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $J^{n}=I$ $J^{n}=I$ для чётных $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $n$ $n$ и $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $J^{n}=J$ $J^{n}=J$ для нечётных $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $n$ $n$ , то есть инволютивна — $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $J^{-1}=J$ $J^{-1}=J$ ;
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\mathop {\rm {tr}} \;J=1$ $\mathop {\rm {tr}} \;J=1$ для нечётных $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $n$ $n$ и $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\mathop {\rm {tr}} \;J=0$ $\mathop {\rm {tr}} \;J=0$ для чётных $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $n$ $n$ ;
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $(JA)_{i,j}=A_{n+1-i,j}$ $(JA)_{i,j}=A_{n+1-i,j}$ и $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $(AJ)_{i,j}=A_{i,n+1-j}$ $(AJ)_{i,j}=A_{i,n+1-j}$ для произвольной $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $(n\times n)$ $(n\times n)$ -матрицы $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A$ $A$ ;
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\det J=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}$ $\det J=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}$ .

Понятие перъединичной матрицы может использоваться для определения матриц, обладающих определёнными симметриями, например, квадратная матрица $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A$ $A$ является:

центросимметричной, если $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $AJ=JA$ $AJ=JA$ ;
персимметричной, если $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $AJ=JA^{\intercal }$ $AJ=JA^{\intercal }$ ;
бисимметричной, если одновременно $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $AJ=JA^{\intercal }$ $AJ=JA^{\intercal }$ и $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $AJ=JA$ $AJ=JA$ .

ПримечанияПравить

↑ Монаков, А. В., В. А. Платонов. Оптимизация метода решения линейных систем уравнений в OpenFOAM для платформы MPI+ CUDA Архивная копия от 13 октября 2016 на Wayback Machine // Труды Института системного программирования РАН 26.3 (2014).

ЛитератураПравить

Roger A. Horn, Charles R. Johnson. Matrix Analysis (англ.). — 2nd edition. — Cambridge University Press, 2012. — P. 33. — ISBN 9781139788885.

[1] Монаков, А. В., В. А. Платонов. Оптимизация метода решения линейных систем уравнений в OpenFOAM для платформы MPI+ CUDA Архивная копия от 13 октября 2016 на Wayback Machine // Труды Института системного программирования РАН 26.3 (2014).

[1]