Квантиль

Кванти́ль в математической статистике — значение, которое заданная случайная величина не превышает с фиксированной вероятностью. Если вероятность задана в процентах, то квантиль называется процентилем или перцентилем (см. ниже).

Например, фраза «90-й процентиль массы тела у новорожденных мальчиков составляет 4 кг» означает, что 90 % мальчиков рождаются с весом, меньшим либо равным 4 кг, а 10 % мальчиков рождаются с весом, большим либо равным 4 кг.

ОпределениеПравить

Рассмотрим вероятностное пространство $(\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->},\mathcal{F},\mathbb{P})$$(\Omega ,\;{\mathcal {F}},\;\mathbb {P} )$  и ${\mathbb{P}}^X$$\mathbb {P} ^{X}$  — вероятностная мера, задающая распределение некоторой случайной величины $X$$X$ . Пусть фиксировано $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\in <!--\; \in \; -->(0,1)$$\alpha \in (0,\;1)$ . Тогда $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ -квантилем (или квантилем уровня $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ ) распределения ${\mathbb{P}}^X$$\mathbb {P} ^{X}$  называется число $x_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}$$x_{\alpha }\in \mathbb{R}$ , такое что

$\mathbb{P}(X⩽<!--\; ⩽\; -->x_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}})⩽<!--\; ⩽\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\mathbb {P} (X\leqslant x_{\alpha })\leqslant \alpha$  ,

$\mathbb{P}(X⩾<!--\; ⩾\; -->x_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}})⩾<!--\; ⩾\; -->1-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}.$$\mathbb {P} (X\geqslant x_{\alpha })\geqslant 1-\alpha .$ 

В некоторых источниках (например, в англоязычной литературе) $k$$k$ -м $q$$q$ -квантилем называется квантиль уровня $k/q$$k/q$ , то есть $(k/q)$$(k/q)$ -квантиль в предыдущих обозначениях.

ЗамечанияПравить

• Если распределение непрерывно, то $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ -квантиль однозначно задаётся уравнением

$F_X(x_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}})=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},$$F_{X}(x_{\alpha })=\alpha ,$ 

где $F_X$$F_{X}$  — функция распределения ${\mathbb{P}}^X$$\mathbb {P} ^{X}$ .

• Очевидно, для непрерывных распределений справедливо следующее широко использующееся при построении доверительных интервалов равенство:

$\mathbb{P}\left(x_{\frac{1-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{2}}⩽<!--\; ⩽\; -->X⩽<!--\; ⩽\; -->x_{\frac{1+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{2}}\right)=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}.$${\mathbb {P}}\left(x_{{{\frac {1-\alpha }{2}}}}\leqslant X\leqslant x_{{{\frac {1+\alpha }{2}}}}\right)=\alpha .$ 

• Для эмпирического распределения $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ -квантиль можно задать следующим способом:

1. составляем вариационный ряд значений $V_0⩽<!--\; ⩽\; -->V_1⩽<!--\; ⩽\; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->⩽<!--\; ⩽\; -->V_{N-<!--\; -\; -->1}$$V_{0}\leqslant V_{1}\leqslant \dots \leqslant V_{{N-1}}$  (выборка имеет объём $N$$N$ ), а также считаем, что $V_N=V_{N-<!--\; -\; -->1}$$V_{N}=V_{{N-1}}$  (это необходимо при вычислении 100 % квантили по приводимым ниже формулам);
2. находим величину $K=\lfloor <!--\; \lfloor \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->(N-<!--\; -\; -->1)\rfloor <!--\; \rfloor \; -->$$K=\lfloor \alpha \cdot (N-1)\rfloor$ ;
3. сравниваем $K$$K$  и $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->N$$\alpha \cdot N$ :

a) если $K+1<\alpha N$ , то полагаем $x_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}=V_{K+1}$$x_{\alpha }=V_{{K+1}}$ ;

б) если $K+1=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}N$$K+1=\alpha N$ , то полагаем $x_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}=(V_K+V_{K+1})/2$$x_{{\alpha }}=(V_{K}+V_{{K+1}})/2$ ;

в) если $K+1>\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}N$$K+1>\alpha N$ , то полагаем $x_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}=V_K$$x_{{\alpha }}=V_{K}$ .

Заданный таким образом $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ -квантиль удовлетворяет приведенному выше определению.

В некоторых случаях (при большом объёме выборки и эмпирическом распределении, близком к непрерывному) вместо равенства $K+1=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}N$$K+1=\alpha N$  можно использовать приближённое сравнение $|K+1-\alpha N|<1/N$  (это позволит, например, квантиль уровня 1/3 представлять как 0,33…333 при компьютерной обработке данных).

Медиана и квартилиПравить

 

Квантили нормального распределения

Основная статья: Медиана (статистика)

• 0,25-квантиль называется первым (или нижним) кварти́лем (от лат. quarta — четверть);
• 0,5-квантиль называется медианой (от лат. mediāna — середина) или вторым кварти́лем;
• 0,75-квантиль называется третьим (или верхним) кварти́лем.

Интеркварти́льным размахом (англ. Interquartile range) называется разность между третьим и первым квартилями, то есть $x_{0,75}-<!--\; -\; -->x_{0,25}$$x_{{0{,}75}}-x_{{0{,}25}}$ . Интерквартильный размах является характеристикой разброса распределения величины и является робастным аналогом дисперсии. Вместе, медиана и интерквартильный размах могут быть использованы вместо математического ожидания и дисперсии в случае распределений с большими выбросами, либо при невозможности вычисления последних.

ДецильПравить

Деци́ль характеризует распределение величин совокупности, при котором девять значений дециля делят её на десять равных частей. Любая из этих десяти частей составляет 1/10 всей совокупности. Так, первый дециль отделяет 10 % наименьших величин, лежащих ниже дециля, от 90 % наибольших величин, лежащих выше дециля.

Так же, как в случае моды и медианы, у интервального вариационного ряда распределения каждый дециль (и квартиль) принадлежит определённому интервалу и имеет вполне определённое значение.

ПроцентильПравить

$p$$p$ -м проценти́лем называют квантиль уровня $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=p/100$$\alpha =p/100$ . Соответственно, медиана является 50-м процентилем, а первый и третий квартиль — 25-м и 75-м процентилями соответственно.

В целом, понятия квантиль и процентиль взаимозаменяемы, так же, как и шкалы исчисления вероятностей — абсолютная и процентная.

Процентили также называются перцентилями или центилями.

Квантили стандартного нормального распределенияПравить

Вероятность (уровень квантили), %	99,99	99,90	99,00	97,72	97,50	95,00	90,00	84,13	50,00
Квантиль (округлённый до тысячных)	3,719	3,090	2,326	1,999	1,960	1,645	1,282	1,000	0,500

См. такжеПравить

• Квантили нормального распределения
• Квантили распределения Стьюдента
• Квантили распределения хи-квадрат
• Нормальное распределение
• Доверительный интервал
• Наукометрия