Периодическое состояние

Периоди́ческое состоя́ние — это такое состояние цепи Маркова, которое навещается цепью только через промежутки времени, кратные фиксированному числу.

Период состоянияПравить

Пусть дана однородная цепь Маркова с дискретным временем $\{X_n{\}}_{n\ge <!--\; \ge \; -->0}$$\{X_{n}\}_{n\geq 0}$  с матрицей переходных вероятностей $P$$P$ . В частности, для любого $n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}$$n\in \mathbb {N}$ , матрица $P^n=\left(p_{ij}^{(n)}\right)$$P^{n}=\left(p_{ij}^{(n)}\right)$  является матрицей переходных вероятностей за $n$$n$  шагов. Рассмотрим последовательность $p_{jj}^{(n)},n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}$$p_{jj}^{(n)},\,n\in \mathbb {N}$ . Число

$d(j)=gcd\left(n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}\mid <!--\; \mid \; -->p_{jj}^{(n)}>0\right)$$d(j)=\gcd \left(n\in \mathbb {N} \mid p_{jj}^{(n)}>0\right)$ ,

где $gcd$$\gcd$  обозначает наибольший общий делитель, называется пери́одом состояния $j$$j$ .

ЗамечаниеПравить

Таким образом, период состояния $j$$j$  равен $d(j)$$d(j)$ , если из того, что $p_{jj}^{(n)}>0$$p_{jj}^{(n)}>0$ , следует, что $n$$n$  делится на $d(j)$$d(j)$ .

Периодические состояния и цепиПравить

• Если $d(j)>1$$d(j)>1$ , то состояние $j$$j$  называется периоди́ческим. Если $d(j)=1$$d(j)=1$ , то состояние $j$$j$  называется апериоди́ческим.

• Периоды сообщающихся состояний совпадают:

$(i\leftrightarrow <!--\; \leftrightarrow \; -->j)\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->(d(i)=d(j))$$(i\leftrightarrow j)\Rightarrow (d(i)=d(j))$ .

Таким образом период любого неразложимого класса цепи Маркова определён и равен периоду любого своего представителя. Соответственно, классы делятся на периодические и апериодические.

• Если цепь Маркова неразложима, то периоды всех её состояний совпадают и принимаемое ими общее значение называется периодом цепи. Цепь называется периодической, если её период больше единицы, и апериодической в противном случае.