Перидинамика

Перидинамика - это формулировка механики сплошных сред, которая ориентирована на неоднородную деформацию, а именно на трещины.

Образец из сплава Al-Mg-Si после испытания на разрыв. Видна шейка (участок утонения стержня), образовавшаяся в результате локализации пластической деформации. Моделирование процесса деформирования данного стержня с использованием математических моделей механики сплошных сред, основанных дифференциальных уравнениях в частных производных по пространственным переменным, возможно только до момента разрыва стержня в результате образования трещины, так как производные на границе разрыва не существуют. Перидинамика позволяет описать процесс деформирования данного стержня, включая стадию его разрыва, так как математические модели перидинамики записаны без использования производных по пространственным переменным.

Термин «перидинамика» образован от англоязычного «peridynamics», который состоит из двух слов: префикса «peri» (от греческого «peri», что означает «окружающий со всех сторон») и корня «dynamics» (динамика).

Цель перидинамикиПравить

Теория перидинамики основана на интегральных уравнениях, в отличие от классической теорией механики сплошных сред, которая основана на дифференциальных уравнениях в частных производных. Учитывая то, что частные производные не существуют на поверхности с разломами и для других особенных точек, классические уравнения механики сплошных сред не могут быть применены напрямую когда эти особенности проявляются при деформации. Интегральные уравнения теории перидинамики могут применяться напрямую, потому что они не требуют непрерывности решения.

Возможность применения таких уравнений напрямую ко всем точкам математической модели деформируемой структуре помогает перидинамике избежать необходимости использовать специальные надстройки механики разрушения твёрдых тел. Например, для перидинамики, нет необходимости вводить отдельный закон роста трещин основанный на коэффициенте интенсивности напряжений.

Определение базовой терминологииПравить

Основным уравнением перидинамики является следующее уравнение движения:

$\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(x)\stackrel{¨<!--\; ¨\; -->}{u}(x,t)={\int <!--\; \int \; -->}_{R}f(u(x^{\prime },t)-<!--\; -\; -->u(x,t),x^{\prime }-<!--\; -\; -->x,x)d{V}_{x^{\prime }}+b(x,t)$$\rho (x){\ddot {u}}(x,t)=\int _{R}f(u(x',t)-u(x,t),x'-x,x)dV_{x'}+b(x,t)$ 

где $x$$x$  - точка тела $R$$R$ , $t$$t$  - время, $u$$u$  - вектор перемещения и $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$$\rho$  - плотность в недеформированном объеме. $x^{\prime }$$x'$  - фиктивная переменная при интегрировании.

 

Функция парных силПравить

$f(u-<!--\; -\; -->u^{\prime },x-<!--\; -\; -->x^{\prime },x^{\prime })=-<!--\; -\; -->f(u^{\prime }-<!--\; -\; -->u,x^{\prime }-<!--\; -\; -->x,x)$$\displaystyle f(u-u',x-x',x')=-f(u'-u,x'-x,x)$ 

$((x^{\prime }+u^{\prime })-<!--\; -\; -->(x+u))\times <!--\; \times \; -->f(u^{\prime }-<!--\; -\; -->u,x^{\prime }-<!--\; -\; -->x,x)=0.$$\displaystyle ((x'+u')-(x+u))\times f(u'-u,x'-x,x)=0.$ 

 

Состояния перидинамикиПравить

 

Результаты численного моделирования процесса деформирования образца (алюминиевого стержня) при его растяжении. Модель описывает образование шейки и последующий разрыв стержня. Цветовая палитра соответствует температуре. Видно, что при пластическом деформировании происходит увеличение температуры, что наиболее сильно проявляется в области локализации пластической деформации. Вычисления произведены с помощью программы "Emu computer code", реализующей математическую модель перидинамики.

Теория описанная выше предполагает, что каждый отклик перидинамической связи независим от остальных. Это упрощение для большинства материалов и накладывает ограничения на типы материалов, которые могут быть смоделированы. В частности, коэффициент Пуассона для моделируемого материала, ограничен значением 0,25.

См. такжеПравить

• Механика разрушения твёрдых тел
• Механика сплошных сред
• Метод подвижных клеточных автоматов

ЛитератураПравить

• Silling, S. A. Reformulation of Elasticity Theory for Discontinuities and Long-Range Forces (англ.) // Journal of the Mechanics and Physics of Solids : journal. — 2000. — Vol. 48. — P. 175—209. — doi:10.1016/S0022-5096(99)00029-0.

• S. A. Silling, M. Zimmermann, and R. Abeyaratne, "Deformation of a Peridynamic Bar," Journal of Elasticity, Vol. 73 (2003) 173-190. DOI: 10.1023/B:ELAS.0000029931.03844.4f (недоступная ссылка)

• S. A. Silling and F. Bobaru, "Peridynamic Modeling of Membranes and Fibers," International Journal of Non-Linear Mechanics, Vol. 40 (2005) 395-409. DOI:10.1016/j.ijnonlinmec.2004.08.004

• O. Weckner and R. Abeyaratne, "The Effect of Long-Range Forces on the Dynamics of a Bar," Journal of the Mechanics and Physics of Solids, Vol. 53 (2005) 705-728. DOI: 10.1016/j.jmps.2004.08.006

• S. A. Silling and E. Askari, "A Meshfree Method Based on the Peridynamic Model of Solid Mechanics," Computers and Structures, Vol. 83 (2005) 1526-1535. DOI:10.1016/j.compstruc.2004.11.026

• K. Dayal and K. Bhattacharya, "Kinetics of Phase Transformations in the Peridynamic Formulation of Continuum Mechanics," Journal of the Mechanics and Physics of Solids, Vol. 54 (2006) 1811-1842.DOI: I0.1016/j.jmps.2006.04.001

• W. Gerstle, N. Sau, and S. Silling, "Peridynamic Modeling of Concrete Structures," Nuclear Engineering and Design, Vol. 237 (2007) 1250-1258. DOI: 10.1016/j.nucengdes.2006.10.002

• E. Emmrich and O. Weckner, "On the well-posedness of the linear peridynamic model and its convergence towards the Navier equation of linear elasticity," Communications in Mathematical Sciences, Vol. 5 (2007), pp. 851-864. https://web.archive.org/web/20110713051126/http://www.intlpress.com/CMS/p/2007/issue5-4/CMS-5-4-A6-Emmrich.pdf

• S. A. Silling, M. Epton, O. Weckner, J. Xu and E. Askari, "Peridynamic States and Constitutive Modeling," Journal of Elasticity, Vol. 88 (2007) 151-184. DOI: 10.1007/s10659-007-9125-1

• F. Bobaru, "Influence of van der Waals forces on increasing the strength and toughness in dynamic fracture of nanofibre networks: a peridynamic approach," Modelling and Simulation in Materials Science and Engineering, Vol. 15 (2007) 397-417. DOI: 10.1088/0965-0393/15/5/002

• R. W. Macek and S. A. Silling, "Peridynamics via finite element analysis," Finite Elements in Analysis and Design, Vol. 43, Issue 15, (2007) 1169-1178. DOI: 10.1016/j.finel.2007.08.012

• S. A. Silling and R. B. Lehoucq, "Convergence of Peridynamics to Classical Elasticity Theory," Journal of Elasticity, Vol. 93 (2008) 13-37. DOI:10.1007/s10659-008-9163-3 (недоступная ссылка)

• M. L. Parks, R. B. Lehoucq, S. Plimpton, and S. Silling, "Implementing peridynamics within a molecular dynamics code," Computer Physics Communications, Vol. 179 (2008), pp. 777-783. DOI:10.1016/j.cpc.2008.06.011

• F. Bobaru, M. Yang, L. F. Alves, S. A. Silling, E. Askari, and J. Xu, "Convergence, adaptive refinement, and scaling in 1D peridynamics," International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 77, Issue 6 (2009) 852-877. DOI: 10.1002/nme.2439 (недоступная ссылка)

• E. Askari, F. Bobaru, R. B. Lehoucq, M. L. Parks, S. A. Silling, and O. Weckner, "Peridynamics for multiscale materials modeling," Scidac 2008. Journal of Physics: Conference Series, Vol. 125 (2008) 012078 (11pp). DOI: 10.1088/1742-6596/125/1/012078

• S. A. Silling, O. Weckner, E. Askari, and F. Bobaru, "Crack nucleation in a peridynamic solid," International Journal of Fracture, Vol. 162(1-2), (2010) 219-227. DOI: 10.1007/s10704-010-9447-z (недоступная ссылка)

• YD. Ha and F. Bobaru, "Studies of dynamic crack propagation and crack branching with peridynamics," International Journal of Fracture, Vol. 162(1-2), (2010) 229-244. doi:10.1007/s10704-010-9442-4 (недоступная ссылка)

• F. Bobaru and M. Duangpanya, "The peridynamic formulation for transient heat conduction," International Journal of Heat and Mass Transfer, published online June 4 (2010). [doi:10.1016/j.ijheatmasstransfer.2010.05.024]

Внешние ссылкиПравить

• Talks on Peridynamics at the SIAM Conference on Mathematical Aspects of Material Science 2008
• Emu software information