Пространство состояний (теория управления)

Пространство состояний — в теории управления один из основных методов описания поведения динамической системы. Движение системы в пространстве состояний отражает изменение её состояний.

ОпределениеПравить

Пространство состояний обычно называют фазовым пространством динамической системы, а траекторию движения изображающей точки в этом пространстве — фазовой траекторией.

В пространстве состояний создаётся модель динамической системы, включающая набор переменных входа, выхода и состояния, связанных между собой дифференциальными уравнениями первого порядка, которые записываются в матричной форме. В отличие от описания в виде передаточной функции и других методов частотной области, пространство состояний позволяет работать не только с линейными системами и нулевыми начальными условиями. Кроме того, в пространстве состояний относительно просто работать с MIMO-системами.

Линейные непрерывные системыПравить

 

Структурная схема непрерывной линейной системы, описанной в виде переменных состояния

Для случая линейной системы с $p$$p$  входами, $q$$q$  выходами и $n$$n$  переменными состояния описание имеет вид:

$\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathbf{x}}(t)=A(t)\mathbf{x}(t)+B(t)\mathbf{u}(t)$$\dot{\mathbf{x}}(t) = A(t) \mathbf{x}(t) + B(t) \mathbf{u}(t)$ 

$\mathbf{y}(t)=C(t)\mathbf{x}(t)+D(t)\mathbf{u}(t)$$\mathbf{y}(t) = C(t) \mathbf{x}(t) + D(t) \mathbf{u}(t)$ 

где

$x(t)\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^n$$x(t) \in \mathbb{R}^n$ ; $y(t)\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^q$$y(t) \in \mathbb{R}^q$ ; $u(t)\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^p$$u(t) \in \mathbb{R}^p$ ;

$\dim <!--\; \; -->[A(\cdot <!--\; \cdot \; -->)]=n\times <!--\; \times \; -->n$$\operatorname{dim}[A(\cdot)] = n \times n$ , $\dim <!--\; \; -->[B(\cdot <!--\; \cdot \; -->)]=n\times <!--\; \times \; -->p$$\operatorname{dim}[B(\cdot)] = n \times p$ , $\dim <!--\; \; -->[C(\cdot <!--\; \cdot \; -->)]=q\times <!--\; \times \; -->n$$\operatorname{dim}[C(\cdot)] = q \times n$ , $\dim <!--\; \; -->[D(\cdot <!--\; \cdot \; -->)]=q\times <!--\; \times \; -->p$$\operatorname{dim}[D(\cdot)] = q \times p$ , $\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathbf{x}}(t):=\frac{d\mathbf{x}(t)}{dt}$$\dot{\mathbf{x}}(t) := {d\mathbf{x}(t) \over dt}$ :

$x(\cdot <!--\; \cdot \; -->)$$x(\cdot)$  — вектор состояния, элементы которого называются состояниями системы

$y(\cdot <!--\; \cdot \; -->)$$y(\cdot)$  — вектор выхода,

$u(\cdot <!--\; \cdot \; -->)$$u(\cdot)$  — вектор управления,

$A(\cdot <!--\; \cdot \; -->)$$A(\cdot)$  — матрица системы,

$B(\cdot <!--\; \cdot \; -->)$$B(\cdot)$  — матрица управления,

$C(\cdot <!--\; \cdot \; -->)$$C(\cdot)$  — матрица выхода,

$D(\cdot <!--\; \cdot \; -->)$$D(\cdot)$  — матрица прямой связи.

Часто матрица $D(\cdot <!--\; \cdot \; -->)$$D(\cdot)$  является нулевой, это означает, что в системе нет явной прямой связи.

Дискретные системыПравить

Для дискретных систем запись уравнений в пространстве основывается не на дифференциальных, а на разностных уравнениях:

$\mathbf{x}(nT+T)=A(nT)\mathbf{x}(nT)+B(nT)\mathbf{u}(nT)$$\mathbf{x}(nT + T) = A(nT) \mathbf{x}(nT) + B(nT) \mathbf{u}(nT)$ 

$\mathbf{y}(nT)=C(nT)\mathbf{x}(nT)+D(nT)\mathbf{u}(nT)$$\mathbf{y}(nT) = C(nT) \mathbf{x}(nT) + D(nT) \mathbf{u}(nT)$ 

Нелинейные системыПравить

Нелинейная динамическая система n-го порядка может быть описана в виде системы из n уравнений 1-го порядка:

${\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{x}}_1=f_1(x_1(t);\dots <!--\; \dots \; -->,x_n(t),u_1(t),\dots <!--\; \dots \; -->,u_m(t))$$\dot x_1=f_1(x_1(t);\ldots,x_n(t),u_1(t),\ldots,u_m(t))$ 

$⋮<!--\; ⋮\; -->$$\vdots$ 

${\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{x}}_n=f_n(x_1(t);\dots <!--\; \dots \; -->,x_n(t),u_1(t),\dots <!--\; \dots \; -->,u_m(t))$$\dot x_n=f_n(x_1(t);\ldots,x_n(t),u_1(t),\ldots,u_m(t))$ 

или в более компактной форме:

$\stackrel{\mathbf{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}}{\mathbf{x}}(t)=\mathbf{f}(t,\mathbf{x}(t),\mathbf{u}(t))$$\mathbf{\dot{x}}(t) = \mathbf{f}(t, \mathbf{x}(t),\mathbf{u}(t))$ 

$\mathbf{y}(t)=\mathbf{h}(t,\mathbf{x}(t),\mathbf{u}(t))$$\mathbf{y}(t) = \mathbf{h}(t, \mathbf{x}(t),\mathbf{u}(t))$ .

Первое уравнение — это уравнение состояния, второе — уравнение выхода.

ЛинеаризацияПравить

В некоторых случаях возможна линеаризация описания динамической системы для окрестности рабочей точки $(\stackrel{\mathbf{~<!--\; ~\; -->}}{\mathbf{x}},\stackrel{\mathbf{~<!--\; ~\; -->}}{\mathbf{u}})$$(\mathbf{\tilde x}, \mathbf{\tilde u})$ . В установившемся режиме $(\stackrel{\mathbf{~<!--\; ~\; -->}}{\mathbf{u}}=const)$$(\mathbf{\tilde u}= const)$  для рабочей точки $\stackrel{\mathbf{~<!--\; ~\; -->}}{\mathbf{x}}=const,$$\mathbf{\tilde x}= const,$  справедливо следующее выражение:

$\stackrel{\mathbf{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}}{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(\stackrel{\mathbf{~<!--\; ~\; -->}}{\mathbf{x}},\stackrel{\mathbf{~<!--\; ~\; -->}}{\mathbf{u}})=\mathbf{0}$$\mathbf{\dot{x}} = \mathbf{f}(\mathbf{\tilde x},\mathbf{\tilde u})=\mathbf{0}$ 

Вводя обозначения:

$\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathbf{u}=\mathbf{u}-<!--\; -\; -->\stackrel{\mathbf{~<!--\; ~\; -->}}{\mathbf{u}}$$\delta\mathbf{u} = \mathbf{u}-\mathbf{\tilde u}$ 

$\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathbf{x}=\mathbf{x}-<!--\; -\; -->\stackrel{\mathbf{~<!--\; ~\; -->}}{\mathbf{x}}$$\delta\mathbf{x} = \mathbf{x}-\mathbf{\tilde x}$ 

Разложение уравнения состояния $\mathbf{f}(\mathbf{x}(t),\mathbf{u}(t))$$\mathbf{f}(\mathbf{x}(t),\mathbf{u}(t))$  в ряд Тейлора, ограниченное первыми двумя членами даёт следующее выражение:

$\mathbf{f}(\mathbf{x}(t),\mathbf{u}(t))\approx <!--\; \approx \; -->\mathbf{f}(\stackrel{\mathbf{~<!--\; ~\; -->}}{\mathbf{x}}(t),\stackrel{\mathbf{~<!--\; ~\; -->}}{\mathbf{u}}(t))+\frac{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathbf{f}}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathbf{x}}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathbf{x}+\frac{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathbf{f}}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathbf{u}}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathbf{u}$$\mathbf{f}(\mathbf{x}(t),\mathbf{u}(t))\approx \mathbf{f}(\mathbf{\tilde x}(t),\mathbf{\tilde u}(t)) + \frac{\delta \mathbf{f}}{\delta \mathbf{x}} \delta \mathbf{x} + \frac{\delta \mathbf{f}}{\delta \mathbf{u}} \delta \mathbf{u}$ 

При взятии частных производных вектор-функции $\mathbf{f}$${\mathbf {f}}$  по вектору переменных состояний $\mathbf{x}$$\mathbf {x}$  и вектору входных воздействий $\mathbf{u}$$\mathbf {u}$  получаются матрицы Якоби соответствующих систем функций:

${\frac {\delta \mathbf {f} }{\delta \mathbf {x} }}={\begin{bmatrix}{\frac {\delta \mathbf {f_{1}} }{\delta \mathbf {x_{1}} }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {f_{1}} }{\delta \mathbf {x_{n}} }}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\delta \mathbf {f_{n}} }{\delta \mathbf {x_{1}} }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {f_{n}} }{\delta \mathbf {x_{n}} }}\end{bmatrix}}\quad {\frac {\delta \mathbf {f} }{\delta \mathbf {u} }}={\begin{bmatrix}{\frac {\delta \mathbf {f_{1}} }{\delta \mathbf {u_{1}} }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {f_{1}} }{\delta \mathbf {u_{p}} }}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\delta \mathbf {f_{n}} }{\delta \mathbf {u_{1}} }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {f_{n}} }{\delta \mathbf {u_{p}} }}\end{bmatrix}}$ .

Аналогично для функции выхода:

${\frac {\delta \mathbf {h} }{\delta \mathbf {x} }}={\begin{bmatrix}{\frac {\delta \mathbf {h_{1}} }{\delta \mathbf {x_{1}} }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {h_{1}} }{\delta \mathbf {x_{n}} }}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\delta \mathbf {h_{q}} }{\delta \mathbf {x_{1}} }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {h_{q}} }{\delta \mathbf {x_{n}} }}\end{bmatrix}}\quad {\frac {\delta \mathbf {h} }{\delta \mathbf {u} }}={\begin{bmatrix}{\frac {\delta \mathbf {h_{1}} }{\delta \mathbf {u_{1}} }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {h_{1}} }{\delta \mathbf {u_{p}} }}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\delta \mathbf {h_{q}} }{\delta \mathbf {u_{1}} }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {h_{q}} }{\delta \mathbf {u_{p}} }}\end{bmatrix}}$ 

Учитывая $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\stackrel{\mathbf{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}}{\mathbf{x}}=\stackrel{\mathbf{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}}{\mathbf{x}}-<!--\; -\; -->\stackrel{\mathbf{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}}{\stackrel{\mathbf{~<!--\; ~\; -->}}{\mathbf{x}}}=\stackrel{\mathbf{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}}{\mathbf{x}}$$\delta \mathbf{\dot x}=\mathbf{\dot x}-\mathbf{\dot \tilde x}=\mathbf{\dot x}$ , линеаризованное описание динамической системы в окрестности рабочей точки примет вид:

$\stackrel{\mathbf{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}}{\mathbf{x}}$$\mathbf{\dot x}$	$=\mathbf{A}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathbf{x}+\mathbf{B}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathbf{u}$$=\mathbf{A}\delta \mathbf{x}+\mathbf{B} \delta \mathbf{u}$
$\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathbf{y}$$\delta \mathbf{y}$	$=\mathbf{C}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathbf{x}+\mathbf{D}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathbf{u}$$=\mathbf{C}\delta \mathbf{x}+\mathbf{D} \delta \mathbf{u}$

где

$\mathbf{A}=\frac{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathbf{f}}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathbf{x}}\mathbf{B}=\frac{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathbf{f}}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathbf{u}}\mathbf{C}=\frac{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathbf{h}}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathbf{x}}\mathbf{D}=\frac{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathbf{h}}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathbf{u}}$$\mathbf{A}=\frac{\delta \mathbf{f}}{\delta \mathbf{x}}\quad \mathbf{B}=\frac{\delta \mathbf{f}}{\delta \mathbf{u}}\quad \mathbf{C}=\frac{\delta \mathbf{h}}{\delta \mathbf{x}}\quad \mathbf{D}=\frac{\delta \mathbf{h}}{\delta \mathbf{u}}$ .

ПримерыПравить

Модель в пространстве состояний для маятникаПравить

Маятник является классической свободной нелинейной системой. Математически движение маятника описывается следующим соотношением:

$ml\stackrel{¨<!--\; ¨\; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}(t)=-<!--\; -\; -->mg\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}(t)-<!--\; -\; -->kl\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}(t)$$ml{\ddot {\theta }}(t)=-mg\sin \theta (t)-kl{\dot {\theta }}(t)$ 

где

• $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}(t)$$\theta (t)$  — угол отклонения маятника.
• $m$$m$  — приведённая масса маятника
• $g$$g$  — ускорение свободного падения
• $k$$k$  — коэффициент трения в подшипнике подвеса
• $l$$l$  — длина подвеса маятника

В таком случае уравнения в пространстве состояний будут иметь вид:

$\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{x_1}(t)=x_2(t)$$\dot{x_1}(t) = x_2(t)$ 

$\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{x_2}(t)=-<!--\; -\; -->\frac{g}{l}\sin <!--\; \; -->x_1(t)-<!--\; -\; -->\frac{k}{m}{x}_2(t)$$\dot{x_2}(t) = - \frac{g}{l}\sin{x_1}(t) - \frac{k}{m}{x_2}(t)$ 

где

• $x_1(t):=\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}(t)$$x_{1}(t):=\theta (t)$  — угол отклонения маятника
• $x_2(t):=\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{x_1}(t)$$x_2(t) :=\dot{x_1}(t)$  — угловая скорость маятника
• $\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{x_2}(t):=\stackrel{¨<!--\; ¨\; -->}{x_1}(t)$$\dot{x_2}(t) :=\ddot{x_1}(t)$  — угловое ускорение маятника

Запись уравнений состояния в общем виде:

$\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathbf{x}}(t)=\left(\begin{array}{c}\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{x_1}(t)\\ \stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{x_2}(t)\end{array}\right)=\mathbf{f}(t,x(t))=\left(\begin{array}{c}{x}_2(t)\\ -<!--\; -\; -->\frac{g}{l}\sin <!--\; \; -->x_1(t)-<!--\; -\; -->\frac{k}{m}{x}_2(t)\end{array}\right)$$\dot{\mathbf{x}}(t) = \left( \begin{matrix} \dot{x_1}(t) \\ \dot{x_2}(t) \end{matrix} \right) = \mathbf{f}(t, x(t)) = \left( \begin{matrix} x_2(t) \\ - \frac{g}{l}\sin{x_1}(t) - \frac{k}{m}{x_2}(t) \end{matrix} \right)$ .

Линеаризация модели маятникаПравить

Линеаризованная матрица системы для модели маятника в окрестности точки равновесия $\left({\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{x}}_1=0\right)$$\left(\tilde x_1=0 \right)$  имеет вид:

$\frac{\delta \mathbf{f}}{\delta \mathbf{x}} = \left( \begin{matrix} 0&\ 1 \\ -\frac{g}{l}\cos{\tilde x_1}&\ - \frac{k}{m} \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0&\ 1 \\ -\frac{g}{l}&\ - \frac{k}{m} \end{matrix} \right)$ 

При отсутствии трения в подвесе (k = 0) получим уравнение движения математического маятника:

$\stackrel{¨<!--\; ¨\; -->}{x}=-<!--\; -\; -->\frac{g}{l}x$$\ddot x = -\frac{g}{l}x$ 

См. такжеПравить

• Теория управления
• Фазовое пространство
• Критерий устойчивости в пространстве состояний
• Пространство понятий
• Система отсчёта
• Модальное управление

ЛитератураПравить

• Книги

• Статьи

СсылкиПравить

• Исходные дифференциальные уравнения САР