Переменные Мандельштама

Переменные Мандельштама — три скалярные релятивистские инвариантные величины, сохраняющиеся в процессе рассеяния двух элементарных частиц с образованием двух новых или сохранением двух старых элементарных частиц или в процессе распада одной элементарной частицы на три. Обычно обозначаются как $s,t,u$$s,t,u$. Были введены американским физиком Стэнли Мандельштамом (1928—2016) в 1958 году. Процесс рассеяния можно полностью описать, задав значения только двух переменных Мандельштама. Каждая из них равна квадрату полной энергии некоторой пары частиц в той системе координат, в которой их центр покоится.

ОпределениеПравить

Рассмотрим процесс рассеяния двух элементарных частиц с векторами энергии-импульса $p_1,p_2$$p_{1},p_{2}$  и образования после взаимодействия двух новых или сохранения двух старых элементарных частиц с векторами энергии-импульса $p_3,p_4$$p_{3},p_{4}$ . Соотношения между энергией и массой имеют вид:

$p_i^2=g_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{p}_i^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{p}_i^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}=m_i^2{c}^2.$$p_{i}^{2}=g_{\mu \nu }p_{i}^{\mu }p_{i}^{\nu }=m_{i}^{2}c^{2}.$ 

В пространстве-времени с метрикой $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(1,-<!--\; -\; -->1,-<!--\; -\; -->1,-<!--\; -\; -->1)$$\mathrm {diag} (1,-1,-1,-1)$  они приобретают вид

$m_i^2{c}^4=E_i^2-<!--\; -\; -->p_i^2{c}^2,$$m_{i}^{2}c^{4}=E_{i}^{2}-p_{i}^{2}c^{2},$ 

или в релятивистских единицах $(c=1)$$(c=1)$ 

$m_i^2=E_i^2-<!--\; -\; -->p_i^2.$$m_{i}^{2}=E_{i}^{2}-p_{i}^{2}.$ 

Здесь $i=1,2,3,4$$i=1,2,3,4$  — индекс элементарной частицы. Сохранение каждой компоненты вектора энергии-импульса выражается уравнением:

$p_1+p_2=p_3+p_4.$$p_{1}+p_{2}=p_{3}+p_{4}.$ 

Из этого уравнения можно получить три переменных Мандельштама в релятивистских единицах $(c=1)$$(c=1)$ :

• $s=(p_1+p_2{)}^2=(p_3+p_4{)}^2$$s=(p_{1}+p_{2})^{2}=(p_{3}+p_{4})^{2}$ 
• $t=(p_1-<!--\; -\; -->p_3{)}^2=(p_2-<!--\; -\; -->p_4{)}^2$$t=(p_{1}-p_{3})^{2}=(p_{2}-p_{4})^{2}$ 
• $u=(p_1-<!--\; -\; -->p_4{)}^2=(p_2-<!--\; -\; -->p_3{)}^2$$u=(p_{1}-p_{4})^{2}=(p_{2}-p_{3})^{2}$ 

СвойстваПравить

Переменные Мандельштама связаны соотношением:

$s+t+u=m_1^2+m_2^2+m_3^2+m_4^2.$$s+t+u=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2}.$

Вывод

Для вывода используем два соотношения:

• Квадраты четырёхимпульсов равны квадратам масс:

$p_i^2=m_i^2$$p_{i}^{2}=m_{i}^{2}$ 

• Сохранение четырёхимпульса:

$p_1+p_2=p_3+p_4$$p_{1}+p_{2}=p_{3}+p_{4}$ 

$p_1=-<!--\; -\; -->p_2+p_3+p_4$$p_{1}=-p_{2}+p_{3}+p_{4}$ 

Таким образом:

$s=(p_1+p_2{)}^2=p_1^2+p_2^2+2p_1\cdot <!--\; \cdot \; -->p_2$$s=(p_{1}+p_{2})^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+2p_{1}\cdot p_{2}$ 

$t=(p_1-<!--\; -\; -->p_3{)}^2=p_1^2+p_3^2-<!--\; -\; -->2p_1\cdot <!--\; \cdot \; -->p_3$$t=(p_{1}-p_{3})^{2}=p_{1}^{2}+p_{3}^{2}-2p_{1}\cdot p_{3}$ 

$u=(p_1-<!--\; -\; -->p_4{)}^2=p_1^2+p_4^2-<!--\; -\; -->2p_1\cdot <!--\; \cdot \; -->p_4$$u=(p_{1}-p_{4})^{2}=p_{1}^{2}+p_{4}^{2}-2p_{1}\cdot p_{4}$ 

Суммируя и подставляя квадраты масс, получаем:

$s+t+u=m_1^2+m_2^2+m_3^2+m_4^2+2p_1^2+2p_1\cdot <!--\; \cdot \; -->p_2-<!--\; -\; -->2p_1\cdot <!--\; \cdot \; -->p_3-<!--\; -\; -->2p_1\cdot <!--\; \cdot \; -->p_4$$s+t+u=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2}+2p_{1}^{2}+2p_{1}\cdot p_{2}-2p_{1}\cdot p_{3}-2p_{1}\cdot p_{4}$ 

Замечаем, что последние четыре слагаемых обращаются в нуль в силу сохранения четырёхимпульса:

$2p_1^2+2p_1\cdot <!--\; \cdot \; -->p_2-<!--\; -\; -->2p_1\cdot <!--\; \cdot \; -->p_3-<!--\; -\; -->2p_1\cdot <!--\; \cdot \; -->p_4=2p_1\cdot <!--\; \cdot \; -->(p_1+p_2-<!--\; -\; -->p_3-<!--\; -\; -->p_4)=0$$2p_{1}^{2}+2p_{1}\cdot p_{2}-2p_{1}\cdot p_{3}-2p_{1}\cdot p_{4}=2p_{1}\cdot (p_{1}+p_{2}-p_{3}-p_{4})=0$ 

Таким образом:

$s+t+u=m_1^2+m_2^2+m_3^2+m_4^2$$s+t+u=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2}$ 

ЛитератураПравить

• Займан Дж. Современная квантовая теория. — М.: Мир, 1971. — 288 с.