Первая теорема о среднем

Первая теорема о среднем значении — одна из теорем об определённом интеграле.

ФормулировкаПравить

Пусть функция $f(x)$$f(x)$  интегрируема на отрезке $[a;b]$$[a;b]$ , и ограничена на нём числами $m$$m$  и $M$$M$  так, что $m\le <!--\; \le \; -->f(x)\le <!--\; \le \; -->M$$m\leq f(x)\leq M$ . Тогда существует такое число $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$ , $m\le <!--\; \le \; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\le <!--\; \le \; -->M$$m\leq \mu \leq M$ , что

$\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}f(x)dx=\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(b-<!--\; -\; -->a)$$\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=\mu (b-a)$ .

ДоказательствоПравить

Из неравенства $m\le <!--\; \le \; -->f(x)\le <!--\; \le \; -->M$$m\leq f(x)\leq M$  по свойству монотонности интеграла имеем

$m(b-<!--\; -\; -->a)\le <!--\; \le \; -->\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}f(x)dx\le <!--\; \le \; -->M(b-<!--\; -\; -->a)$$m(b-a)\leq \int \limits _{a}^{b}f(x)dx\leq M(b-a)$ .

Обозначив $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=\frac{1}{b-<!--\; -\; -->a}{\int <!--\; \int \; -->}_a^{b}f(x)dx$$\mu ={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)dx$ , получим требуемое утверждение. Так определённое число $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$  называют средним значением функции $f(x)$$f(x)$  на отрезке $[a;b]$$[a;b]$ , откуда и название теоремы.

ЗамечаниеПравить

Если функция $f(x)$$f(x)$  непрерывна на $[a;b]$$[a;b]$ , то в качестве $m$$m$  и $M$$M$  можно взять её наибольшее и наименьшее значения (которые, по теореме Вейерштрасса, достигаются), тогда по теореме о промежуточном значении существует такая точка $c\in <!--\; \in \; -->[a;b]$$c\in [a;b]$ , что $f(c)=\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$f(c)=\mu$ , поэтому утверждение теоремы можно переписать в виде

$\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}f(x)dx=f(c)(b-<!--\; -\; -->a)$$\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=f(c)(b-a)$ .

Если воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница, то это равенство запишется как

$F(b)-<!--\; -\; -->F(a)=F^{\prime }(c)(b-<!--\; -\; -->a)$$F(b)-F(a)=F'(c)\;(b-a)$ ,

где $F(x)$$F(x)$  — первообразная функции $f(x)$$f(x)$ , что есть не что иное, как формула Лагранжа для функции $F(x)$$F(x)$ .

ОбобщениеПравить

Пусть функции $f(x)$$f(x)$  и $g(x)$$g(x)$  интегрируемы на отрезке $[a;b]$$[a;b]$ , причём по-прежнему $m\le <!--\; \le \; -->f(x)\le <!--\; \le \; -->M$$m\leq f(x)\leq M$ , а вторая из них не меняет знак (то есть либо всюду неотрицательна: $g(x)\ge <!--\; \ge \; -->0$$g(x)\geq 0$ , либо всюду неположительна $g(x)\le <!--\; \le \; -->0$$g(x)\leq 0$ ). Тогда существует такое число $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$ , $m\le <!--\; \le \; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\le <!--\; \le \; -->M$$m\leq \mu \leq M$ , что

$\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}f(x)g(x)dx=\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}g(x)dx$$\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)dx=\mu \int \limits _{a}^{b}g(x)dx$ .

ДоказательствоПравить

Пусть $g(x)$$g(x)$  неотрицательна, тогда имеем

$mg(x)\le <!--\; \le \; -->f(x)g(x)\le <!--\; \le \; -->Mg(x)$$mg(x)\leq f(x)g(x)\leq Mg(x)$ ,

откуда, ввиду монотонности интеграла

$m\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}g(x)dx\le <!--\; \le \; -->\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}f(x)g(x)dx\le <!--\; \le \; -->M\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}g(x)dx$$m\int \limits _{a}^{b}g(x)dx\leq \int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)dx\leq M\int \limits _{a}^{b}g(x)dx$ .

Если ${\int <!--\; \int \; -->}_a^{b}g(x)dx=0$$\int _{a}^{b}g(x)dx=0$ , то из этого неравенства следует, что ${\int <!--\; \int \; -->}_a^{b}f(x)g(x)dx=0$$\int _{a}^{b}f(x)g(x)dx=0$ , и утверждение теоремы выполняется при любом $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$ . В противном случае положим

$\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=\frac{\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}f(x)g(x)dx}{\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}g(x)dx}$$\mu ={\frac {\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)dx}{\int \limits _{a}^{b}g(x)dx}}$ .

Обобщение доказано. Если функция $f(x)$$f(x)$  непрерывна, можно утверждать, что существует точка $c\in <!--\; \in \; -->[a;b]$$c\in [a;b]$  такая, что

$\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}f(x)g(x)dx=f(c)\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}g(x)dx$$\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)dx=f(c)\int \limits _{a}^{b}g(x)dx$ 

(аналогично предыдущему).

ЛитератураПравить

• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: Наука, 1969. — Т. II.
• Зорич В. А. Математический анализ. Ч. I. — М.: Наука, 1981.