Парадокс субмарины

Парадо́кс субмари́ны (иногда называемый парадо́ксом Са́ппли) — мысленный эксперимент в рамках теории относительности Эйнштейна, приводящий к трудноразрешимому парадоксу.

Согласно специальной теории относительности Эйнштейна с точки зрения неподвижного наблюдателя размеры объекта, движущегося со скоростью, близкой к скорости света, уменьшаются в направлении движения. Однако с точки зрения объекта, напротив, именно неподвижные наблюдатели кажутся короче.

Если предположить, что некая подлодка движется под водой с околосветовой скоростью, неподвижным наблюдателям она покажется сжавшейся. Плотность её, соответственно, должна увеличиться, что непременно потянет её на дно. Но со стороны объекта — находящегося на борту подлодки экипажа — всё воспринималось бы с точностью до наоборот: «бегущая» вода вокруг них сжимается, а значит становится более плотной и выталкивает лодку на поверхность.

В 1989 году Джеймс Саппли разрешил парадокс с использованием специальной теории относительности. В честь него эту задачу называют также «Парадокс Саппли».

В 2003 году бразилец Джордж Матсас из Сан-Паулу рассмотрел этот парадокс, используя общую теорию относительности. У обоих учёных вывод был одинаков: подлодка будет погружаться.

Учёные объясняют парадокс по-разному. На слои и на лодку действует масса факторов, требующих обязательного учёта для успешного решения этого парадокса. Здесь и увеличение воздействия гравитации на лодку, которая потянет её вниз, и искажение формы слоёв воды вверх (они «задираются» с точки зрения подлодки из-за нарушения одновременности начала ускорения).

Суть решенияПравить

Всё рассмотрение можно вести в рамках специальной теории относительности, переходя в движущуюся с ускорением систему отсчёта (в которой удобно ввести координаты Риндлера). Проще, однако, рассмотреть всё из инерциальной системы отсчёта, где ускорение жидкости вызывается какой-либо причиной, например, жидкость электрически заряжена и находится в электрическом поле, либо её подпирает ускоренно движущаяся стенка. Важно, что эта причина не ускоряет подлодку — например, подводная лодка нейтральна, либо не контактирует со стенкой. Ограничимся начальным моментом времени, когда жидкость покоится, а скорость подлодки равна 0 для «неподвижного» случая, и $v$$v$  (с соответствующим $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}=\frac{1}{\sqrt{1-<!--\; -\; -->v^2/c^2}}$$\gamma ={\frac {1}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$ ) для «движущегося».

С точки зрения инерциальных наблюдателей ускорение подводной лодки (не важно, в покое или в движении) вызывается передачей импульса от молекул жидкости к молекулам подводной лодки — это микроскопическое определение давления. Эта передача пропорциональна площади поверхности жидкости, контактирующей с подлодкой, и, соответственно, уменьшается в $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$$\gamma$  раз при сокращении подводной лодки из-за её движения. Поэтому передача импульса равна $\frac{d{p}_0}{dt}$${\frac {dp_{0}}{dt}}$  для «неподвижной» подлодки, и $\frac{dp}{dt}=\frac{1}{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}\frac{d{p}_0}{dt}$${\frac {dp}{dt}}={\frac {1}{\gamma }}{\frac {dp_{0}}{dt}}$  для «движущейся». Теперь несложно вычислить ускорения, получаемые подлодками в начальный момент: для «неподвижной» подлодки это будет величина, по условию совпадающая с ускорением жидкости

$a_0=\frac{1}{m}\frac{d{p}_0}{dt},$$a_{0}={\frac {1}{m}}{\frac {dp_{0}}{dt}},$ 

где $m$$m$  — масса подлодки, а для «движущейся»

$a=\frac{1}{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}m}\frac{dp}{dt}=\frac{1}{{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}^{2}m}\frac{d{p}_0}{dt}=\frac{a_0}{{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}^2},$$a={\frac {1}{\gamma m}}{\frac {dp}{dt}}={\frac {1}{\gamma ^{2}m}}{\frac {dp_{0}}{dt}}={\frac {a_{0}}{\gamma ^{2}}},$ 

где учтено, что подводная лодка ускоряется перпендикулярно направлению своего движения. Как видно, ускорение «движущейся» подлодки меньше, чем покоящейся — она затонет.

Теперь рассмотрим ситуацию в системе отсчёта, где подлодка «неподвижна», но двигается жидкость. Плотность жидкости из-за её релятивистского сокращения возрастёт, что увеличит силу Архимеда в $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$$\gamma$  раз, то есть передача импульса станет равна $\frac{d{p}^{\prime }}{d{t}^{\prime }}=\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}\frac{d{p}_0}{dt}$${\frac {dp'}{dt'}}=\gamma {\frac {dp_{0}}{dt}}$ , что вызовет ускорение подлодки

$a_s^{\prime }=\frac{1}{m}\frac{d{p}^{\prime }}{d{t}^{\prime }}=\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}{a}_0.$$a_{s}'={\frac {1}{m}}{\frac {dp'}{dt'}}=\gamma a_{0}.$ 

Однако при переходе в эту инерциальную систему отсчёта ускорение жидкости также изменится. Выделив в жидкости некоторый уровень, имеем в исходной системе его уравнение движения $z=a_0{t}^2/2$$z=a_{0}t^{2}/2$ , а в новой, согласно преобразованиям Лоренца для месторасположения подводной лодки $x=vt\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->t=\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}{t}^{\prime }$$x=vt\Rightarrow t=\gamma t'$ , получаем $z^{\prime }=z=a_0{t}^2/2=a_0{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}^2{t}^{\prime 2}/2=a^{\prime }{t}^{\prime 2}/2,$$z'=z=a_{0}t^{2}/2=a_{0}\gamma ^{2}t'^{2}/2=a't'^{2}/2,$  то есть ускорение уровня жидкости, измеряемое с подлодки, равно $a_l^{\prime }={\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}^2{a}_0$$a_{l}'=\gamma ^{2}a_{0}$ . Оно больше ускорения подлодки — она затонет.

Точно такой же результат получается, если взять правильное уравнение гиперболического движения $z=\frac{c}{a\sqrt{c^2+a^2{t}^2}}-<!--\; -\; -->\frac{c^2}{a}+z_0$$z={\frac {c}{a{\sqrt {c^{2}+a^{2}t^{2}}}}}-{\frac {c^{2}}{a}}+z_{0}$  вместо приближённого, верного лишь вблизи $t=0,z=\frac{a_0{t}^2}{2}$$t=0,\ z={\frac {a_{0}t^{2}}{2}}$  . Есть ещё некоторый эффект, связанный с нарушением одновременности ускорения различных частей жидкости относительно системы отсчёта подлодки, но он может быть сведён к пренебрежимо малой величине выбором малого ускорения и/или размера подлодки в направлении движения (смотри работу Матсаса для подробного разбора).

СсылкиПравить

• George E. A. Matsas. Relativistic Arquimedes law for fast moving bodies and the general-relativistic resolution of the «submarine paradox». Phys. Rev. D68 (2003) 027701
• Теория относительности топит субмарины