Парадокс Паррондо

Парадо́кс Парро́ндо — парадокс в теории игр, который обычно характеризуют как комбинацию проигрышных стратегий, которая выигрывает. Парадокс назван в честь его создателя, Хуана Паррондо, испанского физика. Утверждение парадокса выглядит следующим образом:

Возможно выиграть, играя поочерёдно в две заведомо проигрышные игры.

Более точная с точки зрения математики версия парадокса звучит следующим образом:

В двух играх с зависимыми исходами, в каждой из которых вероятность проигрыша больше вероятности выигрыша, можно построить выигрышную стратегию, манипулируя очерёдностью между ними.

Парадокс заключается в следующем: играя в две специально подобранные игры А и Б, каждая из которых имеет более высокую вероятность проигрыша, чем победы, можно построить выигрышную стратегию, играя в эти игры поочерёдно. То есть, играя в одну игру, в которой на 5 проигрышей выпадает 4 выигрыша, игрок неизбежно проиграет по итогам большого количества розыгрышей. Затем, играя в другую, в которой на 10 проигрышей выпадает 9 выигрышей, игрок также проиграет. Но если чередовать эти игры, например АББАББ и т. п., то общая вероятность выигрыша может оказаться больше вероятности проигрыша.

Условием возникновения парадокса Паррондо является связь между результатами игр А и Б (игры с «капиталом» игрока), либо общий предмет в правилах игры.

Вариант с капиталом игрокаПравить

Связь двух игр может осуществляться через текущий капитал игрока. Под капиталом игрока подразумевается накопительная количественно измеряемая компонента исходов игры.

Пусть игра А такова, что игрок выигрывает 1 ₽ с вероятностью $50\mathrm{\%<!--\; \%\; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$50\,\%-\varepsilon$  (с положительным, достаточно малым $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$\varepsilon$ ) и проигрывает 1 ₽ с вероятностью $50\mathrm{\%<!--\; \%\; -->}+\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$50\,\%+\varepsilon$ . Математическое ожидание результата такой игры равняется $-<!--\; -\; -->2\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$-2\varepsilon$ , то есть отрицательно. Игра Б является комбинацией двух игр — Б1 и Б2. Если капитал игрока в начале игры Б кратен 3, то он играет в Б1, иначе — в Б2.Игра Б1: игрок выигрывает 1 ₽ с вероятностью $10\mathrm{\%<!--\; \%\; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$10\,\%-\varepsilon$ , проигрывает с вероятностью $90\mathrm{\%<!--\; \%\; -->}+\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$90\,\%+\varepsilon$ .${\displaystyle }$Игра Б2: игрок выигрывает 1 ₽ с вероятностью $75\mathrm{\%<!--\; \%\; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$75\,\%-\varepsilon$ , проигрывает с вероятностью $25\mathrm{\%<!--\; \%\; -->}+\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$25\,\%+\varepsilon$ .

При любом ненулевом положительном значении $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$\varepsilon$  игра Б также обладает отрицательным ожиданием результата (например, при $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}=\mathrm{0,005}$$\varepsilon =0{,}005$ ).

Можно увидеть, что некоторые комбинации игр А и Б обладают положительным ожиданием результата. Например (с указанным значением $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$\varepsilon$ ):

• Случайно выбирая каждый раз игру между А и Б, мы получим ожидание результата 0,0147.
• Играя поочерёдно 2 раза А, затем 2 раза Б, получаем ожидание результата 0,0148.

Чтобы лучше понять суть парадокса с капиталом игрока, можно представить, что игрок стоит на лестнице с пронумерованными ступенями, и должен подняться по ней вверх. Поскольку наиболее неприятным для игрока исходом является игра Б1, когда он стоит на ступеньке с номером, кратным 3, то в этот момент ему следует переключиться на игру А, а на ступенях с номерами, не кратными 3, переключиться обратно на игру Б и сыграть по правилам Б2. Так, при $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$\varepsilon$  в интервале [0;0.084] игроку в долгосрочной перспективе обеспечен выигрыш.

Вариант с блокировкой игрыПравить

Связь может также осуществляться ссылкой правил на общий предмет.

Пусть перед игроком имеется жетон с двумя сторонами — белой и чёрной.

Игра А — игрок бросает монетку:

• если жетон обращён белой стороной к игроку,
  • если выпал «орёл», то игрок получает 3 ₽;
  • если выпала «решка», то игрок теряет 1 ₽ и переворачивает жетон другой стороной.
• если жетон обращён чёрной стороной к игроку,
  • если выпал «орёл», то игрок получает 1 ₽;
  • если выпала «решка», то игрок теряет 2 ₽.

Игра Б — игрок бросает монетку:

• если жетон обращён чёрной стороной к игроку,
  • если выпал «орёл», то игрок получает 3 ₽;
  • если выпала «решка», то игрок теряет 1 ₽ и переворачивает жетон другой стороной.
• если жетон обращён белой стороной к игроку,
  • если выпал «орёл», то игрок получает 1 ₽;
  • если выпала «решка», то игрок теряет 2 ₽.

Играя в одну из этих игр в долгосрочной перспективе, игрок в среднем будет проигрывать, играя же в эти игры поочерёдно (или каждый раз выбирая случайным образом одну из двух игр), игрок получает возможность выбраться из неблагополучной для него конфигурации.

Применение парадоксаПравить

Парадокс Паррондо в настоящее время широко используется в теории игр. Также в настоящее время рассматривается возможность его применения в технике, динамике популяций, оценке финансовых рисков и т. д. Однако этот парадокс приносит мало пользы в большинстве практических ситуаций, например, в инвестировании в фондовый рынок, так как парадокс требует, чтобы выигрыш по меньшей мере в одном из вариантов игры зависел от капитала игрока. А это представляется невозможным.