Отражающая функция Мироненко

Отража́ющая фу́нкция — функция, связывающая прошлое состояние системы с её будущим состоянием в симметричный момент времени. Понятие отражающей функции введено Владимиром Ивановичем Мироненко.

ОпределениеПравить

Пусть $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(t;t_0,x)$$\varphi (t;t_{0},x)$  есть общее решение в форме Коши системы дифференциальных уравнений $\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{x}=X(t,x),$${\dot {x}}=X(t,x),$  решения которой однозначно определяются своими начальными данными. Отражающая функция этой системы определяется формулой $F(t,x)=\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(-<!--\; -\; -->t;t,x).$$F(t,x)=\varphi (-t;t,x).$ 

ПрименениеПравить

Для $2\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$2\omega$ -периодической по переменной $t$$t$  системы дифференциальных уравнений с отражающей функцией $F(t,x)$$F(t,x)$  отображение $\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}(x)$$\Pi (x)$  за период $[-<!--\; -\; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->};\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}]$$[-\omega ;\omega ]$  (отображение Пуанкаре) находится по формуле $\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}(x)=F(-<!--\; -\; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->},x).$$\Pi (x)=F(-\omega ,x).$  Поэтому знание отражающей функции позволяет находить начальные данные $(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->},x_0)$$(\omega ,x_{0})$  для $2\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$2\omega$ -периодических решений $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(t;-<!--\; -\; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->},x_0)$$\varphi (t;-\omega ,x_{0})$  рассматриваемой системы и исследовать эти решения на устойчивость по Ляпунову. Отражающая функция $F(t,x)$$F(t,x)$  системы $\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{x}=X(t,x)$${\dot {x}}=X(t,x)$  удовлетворяет так называемому основному соотношению

$F_t+F_{x}X+X(-<!--\; -\; -->t,F)=0,$$F_{t}+F_{x}X+X(-t,F)=0,$  $F(0,x)=x.$$F(0,x)=x.$ 

С помощью этого соотношения устанавливается, что для многих неинтегрируемых в квадратурах систем дифференциальных уравнений отображение $\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}(x)$$\Pi (x)$  за период $[-<!--\; -\; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->};\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}]$$[-\omega ;\omega ]$  может быть найдено даже через элементарные функции. В этом отражающая функция может быть сопоставлена с интегрирующим множителем.

Отражающая функция используется при исследовании вопросов существования и устойчивости периодических решений краевых задач для систем дифференциальных уравнений.

См. такжеПравить

• Отображение Пуанкаре

ЛитератураПравить

• Мироненко В. И. Отражающая функция и периодические решения дифференциальных уравнений Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine. — Минск, Университетское, 1986. — 76 с.
• Мироненко В. И. Отражающая функция и исследование многомерных дифференциальных систем. — Гомель: Мин. образов. РБ, ГГУ им. Ф. Скорины, 2004. — 196 с.

СсылкиПравить

• Сайт об отражающей функции Архивная копия от 2 марта 2022 на Wayback Machine
• How to construct equivalent differential systems Архивная копия от 19 августа 2011 на Wayback Machine