База топологии

База топологии (база топологического пространства, базис топологии, открытая база) — семейство открытых подмножеств топологического пространства $X$$X$, такое, что любое открытое множество в $X$$X$ представимо в виде объединения элементов этого семейства.

Часто базу топологии предъявляют для того, чтобы ввести топологию. Например, на метрическом пространстве топология определяется через базу, образованную всеми открытыми шарами.

ОпределениеПравить

Семейство $\mathfrak{B}$${\mathfrak {B}}$  открытых множеств топологического пространства $X$$X$  называется базой топологии (или топологического пространства), если любое открытое множество из $X$$X$  представимо в виде объединения элементов семейства $\mathfrak{B}$${\mathfrak {B}}$ .

Семейство $\mathfrak{B}$${\mathfrak {B}}$  открытых множеств топологического пространства $X$$X$  является базой, тогда и только тогда, когда для каждой точки $x$$x$  пространства $X$$X$  и её окрестности $U$$U$  найдётся множество $V$$V$  из $\mathfrak{B}$${\mathfrak {B}}$  такое, что $x\in <!--\; \in \; -->V\subset <!--\; \subset \; -->U$$x\in V\subset U$ .

Вес топологического пространстваПравить

Минимальная из мощностей всех баз пространства $X$$X$  называется весом топологического пространства $X$$X$ . Вес пространства $X$$X$  обычно обозначается $w(X)$$w(X)$ .

Свойства

• Для каждой базы $\mathfrak{B}$${\mathfrak {B}}$  существует подмножество ${\mathfrak{B}}_0$${\mathfrak {B}}_{0}$ , являющееся базой и имеющее мощность, равную весу пространства.
• Если вес пространства $X$$X$  не более, чем счетный (то есть $X$$X$  имеет счётную базу), то $X$$X$  называют пространством со второй аксиомой счетности.
• В пространстве веса $\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$\tau$  существует всюду плотное множество мощности $⩽<!--\; ⩽\; -->\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$\leqslant \tau$ .

Вариации и обобщенияПравить

• Локальная база пространства $X$$X$  в точке $x\in <!--\; \in \; -->X$$x\in X$  (база точки $x$$x$ ) — семейство $\mathfrak{B}(x)$$\mathfrak{B}(x)$  окрестностей точки $x$$x$  со свойством: для любой окрестности $O_x$$O_x$  точки $x$$x$  найдется элемент $V\in <!--\; \in \; -->\mathfrak{B}(x)$$V \in \mathfrak{B}(x)$  такой, что $x\in <!--\; \in \; -->V\subset <!--\; \subset \; -->O_x$$x \in V \subset O_x$ .
  • Минимум мощностей всех локальных баз пространства $X$$X$  в точке $x\in <!--\; \in \; -->X$$x\in X$  называется характером пространства $X$$X$  в точке $x$$x$  и обозначается $\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}(x,X)$$\chi (x,X)$ .
  • Супремум характеров пространства $X$$X$  во всех точках $x\in <!--\; \in \; -->X$$x\in X$  называется характером пространства $X$$X$  и обозначается $\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}(X)$$\chi (X)$ .
  • Пространства, имеющие счетную локальную базу в каждой точке, называются пространствами с первой аксиомой счетности.
  • Семейство $\mathfrak{B}$${\mathfrak {B}}$  открытых в X множеств является базой тогда и только тогда, когда для каждой точки $x\in <!--\; \in \; -->X$$x\in X$  подсемейство $\mathfrak{B}(x)$$\mathfrak{B}(x)$  всех элементов $\mathfrak{B}$${\mathfrak {B}}$ , содержащих точку $x$$x$  является локальной базой точки $x$$x$ .
• Система окрестностей — это семейство $\{\mathfrak{B}(x){\}}_{x\in <!--\; \in \; -->X}$$\{{\mathfrak {B}}(x)\}_{{x\in X}}$ , такое, что $\mathfrak{B}(x)$$\mathfrak{B}(x)$  является локальной базой пространства $X$$X$  в точке $x$$x$  для каждого $x\in <!--\; \in \; -->X$$x\in X$ .
• Предбаза — семейство $Y$$Y$  открытых подмножеств топологического пространства $X$$X$  такое, что совокупность всех множеств, являющихся пересечением конечного числа элементов $Y$$Y$ , образует базу пространства $X$$X$ .
• Замкнутая база — семейство всех дополнений к элементам некоторой базы.
• $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ -база (решёточная база) — семейство $\mathfrak{B}$${\mathfrak {B}}$  непустых открытых подмножеств пространства $X$$X$  такое, что всякое непустое открытое в $X$$X$  множество содержит множество из $\mathfrak{B}$${\mathfrak {B}}$ , то есть $\mathfrak{B}$${\mathfrak {B}}$  плотно по Хаусдорфу в пространстве $X$$X$ . Любая база есть $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ -база. Обратное неверно, например, в компактификации Стоуна — Чеха $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\mathbb{N}$$\beta \mathbb{N}$  множества натуральных чисел семейство одноточечных подмножеств множества $\mathbb{N}$$\mathbb {N}$  является $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ -базой, но не является базой.
• Псевдобаза — такое семейство открытых подмножеств, что пересечение всех его элементов, содержащих фиксированную точку, совпадает с этой точкой. Существует только в T₁-пространствах. Пример пространства со счётной псевдобазой, в котором нет счётной базы — пространство последовательностей нулей и единиц с дискретной топологией (псевдобаза — множества, состоящие из всех последовательностей с фиксированным значением на некоторой позиции).

Задание топологии с помощью базы, предбазы и системы окрестностейПравить

• Семейство $\mathfrak{B}$${\mathfrak {B}}$  подмножеств произвольного множества $X$$X$  является базой некоторой топологии на $X$$X$  в том, и только в том случае, когда $\mathfrak{B}$${\mathfrak {B}}$  удовлетворяет следующим условиям:

1. Каждая точка $x\in <!--\; \in \; -->X$$x\in X$  принадлежит некоторому множеству $U$$U$  из семейства $\mathfrak{B}$${\mathfrak {B}}$ .
2. Для любых множеств $U,V\in <!--\; \in \; -->\mathfrak{B}$$U,V\in {\mathfrak {B}}$  и точки $x\in <!--\; \in \; -->U\cap <!--\; \cap \; -->V$$x\in U\cap V$  существует множество $W\in <!--\; \in \; -->\mathfrak{B}$$W\in {\mathfrak {B}}$  такое, что $x\in <!--\; \in \; -->W\subset <!--\; \subset \; -->U\cap <!--\; \cap \; -->V$$x\in W\subset U\cap V$ .

В этом случае $\mathfrak{B}$${\mathfrak {B}}$  является базой топологии на $X$$X$ , в которой множества открыты тогда и только тогда, когда они представимы в виде объединения некоторых подмножеств из $\mathfrak{B}$${\mathfrak {B}}$ . Такую топологию называют топологией, порождённой базой $\mathfrak{B}$${\mathfrak {B}}$ .

• Для того, чтобы семейство $\mathfrak{B}$${\mathfrak {B}}$  подмножеств произвольного множества $X$$X$  было предбазой некоторой топологии на $X$$X$  необходимо и достаточно выполнение вышеуказанного условия 1. При этом в этой топологии открыты те и только те множества, которые представимы в виде объединения конечных пересечений некоторых подмножеств из $\mathfrak{B}$${\mathfrak {B}}$ . Такую топологию называют топологией, порождённой предбазой $\mathfrak{B}$${\mathfrak {B}}$ . Это наименьшая топология, содержащая семейство $\mathfrak{B}$${\mathfrak {B}}$ .

• Совокупность $\{\mathfrak{B}(x){\}}_{x\in <!--\; \in \; -->X}$$\{{\mathfrak {B}}(x)\}_{{x\in X}}$  семейств подмножеств произвольного множества $X$$X$  является системой окрестностей некоторой топологии на $X$$X$  тогда и только тогда, когда она удовлетворяет следующим условиям:

1. Для каждого $x\in <!--\; \in \; -->X$$x\in X$  семейство $\mathfrak{B}(x)$$\mathfrak{B}(x)$  непусто и $x\in <!--\; \in \; -->U$$x\in U$  для любого $U\in <!--\; \in \; -->\mathfrak{B}(x)$$U\in {\mathfrak {B}}(x)$ .
2. Для всякого $y\in <!--\; \in \; -->U\in <!--\; \in \; -->\mathfrak{B}(x)$$y\in U\in {\mathfrak {B}}(x)$  найдётся $V\in <!--\; \in \; -->\mathfrak{B}(y)$$V\in {\mathfrak {B}}(y)$  такое, что $V\subset <!--\; \subset \; -->U$$V\subset U$ .
3. Для всяких множеств $V,W\in <!--\; \in \; -->\mathfrak{B}(x)$$V,W\in {\mathfrak {B}}(x)$  существует $U\in <!--\; \in \; -->\mathfrak{B}(x)$$U\in {\mathfrak {B}}(x)$ , такое, что $U\subset <!--\; \subset \; -->V\cap <!--\; \cap \; -->W$$U\subset V\cap W$ .

В этом случае $\{\mathfrak{B}(x){\}}_{x\in <!--\; \in \; -->X}$$\{{\mathfrak {B}}(x)\}_{{x\in X}}$  является системой окрестностей топологии на $X$$X$ , состоящей из всех подмножеств, представимых в виде объединения подсемейств семейства $\underset{x\in <!--\; \in \; -->X}{\bigcup <!--\; \bigcup \; -->}\mathfrak{B}(x)$$\bigcup _{{x\in X}}{\mathfrak {B}}(x)$ . Такую топологию называют топологией, порождённой системой окрестностей $\{\mathfrak{B}(x){\}}_{x\in <!--\; \in \; -->X}$$\{{\mathfrak {B}}(x)\}_{{x\in X}}$ .

ПримерыПравить

• Базой любого топологического пространства является семейство всех его открытых множеств.
• Дискретная топология имеет в качестве базы семейство всех его одноточечных подмножеств.
• Если $X$$X$  и $Y$$Y$  — топологические пространства с базами топологий ${\mathfrak{B}}_X$$\mathfrak{B}_X$  и ${\mathfrak{B}}_Y$$\mathfrak{B}_Y$ , тогда топология на декартовом произведении $X\times <!--\; \times \; -->Y$$X\times Y$  задаётся с помощью базы

${\mathfrak{B}}_{X\times <!--\; \times \; -->Y}=\{U\times <!--\; \times \; -->V:U\in <!--\; \in \; -->{\mathfrak{B}}_X,V\in <!--\; \in \; -->{\mathfrak{B}}_Y\}$$\mathfrak{B}_{X\times Y} = \{U\times V\,: U\in\mathfrak{B}_X,\,V\in\mathfrak{B}_Y\}$ 
При этом топология на $X\times <!--\; \times \; -->Y$$X\times Y$  не будет зависеть от того, какие базы пространств X и Y используются для её задания. Такая топология называется (стандартной) топологией декартова произведения топологических пространств.

• Топология пространства действительных чисел $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$  задаётся системой всех интервалов $(a,b)$$(a,b)$ , которая составляет базу этой топологии. Аналогично топология пространства ${\mathbb{R}}^n$${\R}^n$  задаётся базой открытых брусов $(a_1,b_1)\times <!--\; \times \; -->(a_2,b_2)\times <!--\; \times \; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->\times <!--\; \times \; -->(a_n,b_n)$$(a_1,b_1)\times(a_2,b_2)\times\dots\times(a_n,b_n)$ , и эта топология, очевидно, совпадает со стандартной топологией прямого произведения пространств.
• Упорядоченная топология обычно определяется как топология порождённая набором открыто-интервальных множеств.
• Метрическая топология обычно определяется как топология порождённая набором открытых шаров, задаваемых определенной метрикой.

См. такжеПравить

• Теорема Есенина-Вольпина
• Склеивающая аксиома
• Нижняя часть базы

ЛитератураПравить

• Александров П. С., Колмогоров А. Н. Введение в общую теорию множеств и функций. — М.—Л., 1948.
• Урысон П. С. Труды по топологии и другим областям математики. — Т. 1—2. — М.—Л., 1951.
• Александров П. С., Пасынков Б. А. Введение в теорию размерности. Введение в теорию топологических пространств и общую теорию размерности. — М., 1973.
• Архангельский А. В., Пономарев В. И. Основы общей топологии в задачах и упражнениях. — М., 1974.
• Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры / Пер. с франц. — М., 1968.
• Энгелькинг, Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.
• Келли, Дж. Л. Общая топология. — М.: Наука, 1968.

СсылкиПравить

• База топологии — статья из Математической энциклопедии. А. А. Мальцев