Осцилляции Зенера — Блоха

Осцилляции Зенера — Блоха — колебания частицы, движущейся в периодическом потенциале, под действием постоянной силы. Примером системы, в которой могут реализоваться такие колебания, является кристаллическое твердое тело. В реальных кристаллах создать условия для наблюдения осцилляций Зенера — Блоха трудно, однако они наблюдались в искусственных системах, например, сверхрешётках.

Кларенс Зенер рассмотрел такие колебания для электронов кристалла во внешнем электрическом поле. Феликс Блох обобщил теорию на случай любых частиц и любых сил.

Квазиклассическое рассмотрениеПравить

Если пренебречь межзонными переходами электронов в присутствии внешнего электрического поля $\mathbf{E}$$\mathbf {E}$ , то перемещения электрона в k-пространстве полностью определяется вторым законом Ньютона:

$\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\frac{dk}{dt}=-<!--\; -\; -->e\mathbf{E}$$\hbar \;{\frac {dk}{dt}}=-e\mathbf {E}$ .

Где $e$$e$  —- элементарный заряд (в этих обозначениях заряд электрона равен $-<!--\; -\; -->e=-<!--\; -\; -->1,6\cdot <!--\; \cdot \; -->{10}^{-<!--\; -\; -->19}$$-e=-1,6\cdot 10^{-19}$  Кл). При отсутствии столкновений электрон проходит во всей первой зоне Бриллюэна, отражается от её границы, снова пересекает зону, и вновь отражается на границе. В результате такое движение электрона в зоне под действием постоянного электрического поля имеет характер осцилляций в $\mathbf{k}$$\mathbf {k}$ -пространстве, а значит и в обычном пространстве. Эти осцилляции получили название осцилляций Зенера (частичный случай электрического поля) и Блоха (общий случай действия потенциального поля какой-либо природы).

Пусть поле $\mathbf{E}$$\mathbf {E}$  направлено вдоль вектора обратной решётки $\mathbf{K}$${\mathbf {K}}$ , определяющий положение границы зоны Бриллюэна, отражающей электроны. За одну осцилляцию электрон проходит расстояние $K$$K$ . Если $K=\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{a}$$K={\frac {2\pi }{a}}$ , где $a$$a$  — постоянная решетки, то циклическая частота равна:

${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_z=\frac{eEa}{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}$$\omega _{z}={\frac {eEa}{\hbar \;}}$ .

Поскольку $a\approx <!--\; \approx \; -->3$$a\approx \;3$ A, для поля $2\cdot <!--\; \cdot \; -->{10}^6$$2\cdot 10^{6}$  В/м, то частота составляет около ${10}^{13}$$10^{13}$  Гц. Осцилляции ограничены в пространстве. В такой ситуации потенциал возмущения $e\mathbf{E}\mathbf{r}$$e\mathbf {E} \mathbf {r}$  видоизменяет энергетические уровни в зоне. И состояния, энергия которых отличается на величину $eEa$$eEa$  изменяют энергии вдоль краёв зоны. Равные энергии создают т. н. штарковскую лестницу, названную так, поскольку её возникновение напоминает эффект Штарка в атомной физике. Ясно, что амплитуда $L_z$$L_{z}$ , пространственных осцилляций определяется шириной зоны $W_b$$W_{b}$ :

$L_z=\frac{W_b}{2eE}$$L_{z}={\frac {W_{b}}{2eE}}$ 

Так как на элементарную ячейку приходится одно состояние, то общее количество осцилляций остаётся неизменной величиной, однако интервалы между соседними уровнями энергии остаются конечными и одинаковыми.

Квантовая теорияПравить

Волновая функция электрона в состоянии Зенера — Блоха, очевидно отличается от бегущей волны, поскольку $\mathbf{k}$$\mathbf {k}$  уже не является хорошим квантовым числом. Рассматривая приложенный потенциал, как возмущение, находим:

$(H_0^{\ast <!--\; \ast \; -->}-<!--\; -\; -->e\mathbf{E}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{r}){\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_z=E_z{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_z$${\big (}H_{0}^{*}-e\mathbf {E} \cdot \mathbf {r} {\big )}\psi _{z}=E_{z}\psi _{z}$ -

${\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_z=V^{-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}}\underset{\mathbf{k}}{\overset{\propto <!--\; \propto \; -->}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{c}_k{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_k(\mathbf{r})$$\psi _{z}=V^{-{\frac {1}{2}}}\sum _{\mathbf {k} }^{\propto }\;c_{k}\phi _{k}(\mathbf {r} )$ 

где ${\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_k(\mathbf{r})$$\psi _{k}(\mathbf {r} )$  — зонные функции Блоха, ${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}}_0^{\ast <!--\; \ast \; -->}=p^2/2m^{\ast <!--\; \ast \; -->}$${\hat {H}}_{0}^{*}=p^{2}/2m^{*}$ . Теория возмущений даёт

$c_{k^{\prime }}=\underset{\mathbf{k}}{\overset{\propto <!--\; \propto \; -->}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{c_k⟨{\mathbf{k}}^{\prime }|-<!--\; -\; -->eE\mathbf{r}|\mathbf{k}⟩}{W_z-<!--\; -\; -->W_{k^{\prime }}}$$c_{k'}=\sum _{\mathbf {k} }^{\propto }\;{\frac {c_{k}\left\langle \mathbf {k'} |-eE\mathbf {r} |\mathbf {k} \right\rangle }{W_{z}-W_{k'}}}$ .

Матричный элемент удобнее всего вычислять учитывая

$\mathbf{r}\exp <!--\; \; -->(i\mathbf{k}\mathbf{r})=-<!--\; -\; -->i{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_k\exp <!--\; \; -->(i\mathbf{k}\mathbf{r})$$\mathbf {r} \exp(i\mathbf {k} \mathbf {r} )=-i\nabla _{k}\exp(i\mathbf {k} \mathbf {r} )$ .

Переходя от суммирования по $\mathbf{k}$$\mathbf {k}$  к интегрированию с помощью соотношения

$\underset{\mathbf{k}}{\sum <!--\; \sum \; -->}\to <!--\; \to \; -->{\int <!--\; \int \; -->}_{}^{}\frac{V}{8{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^3}d\mathbf{k}$$\sum _{\mathbf {k} }\;\to \int _{}^{}{\frac {V}{8\pi ^{3}}}\,d\mathbf {k}$ ,

и интегрируя по частям, используя свойство ортогональности плоских волн, получаем:

$\underset{\mathbf{k}}{\overset{\propto <!--\; \propto \; -->}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{c}_k⟨{\mathbf{k}}^{\prime }|-<!--\; -\; -->e\mathbf{E}\mathbf{r}|\mathbf{k}⟩=-<!--\; -\; -->e\mathbf{E}{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_k{c}_k{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{k{k}^{\prime }}$$\sum _{\mathbf {k} }^{\propto }\;c_{k}\left\langle \mathbf {k'} |-e\mathbf {E} \mathbf {r} |\mathbf {k} \right\rangle =-e\mathbf {E} \Delta _{k}c_{k}\delta _{kk'}$ -

откуда находим производные

$\frac{d{c}_k}{d\mathbf{k}}=\frac{i(W_z-<!--\; -\; -->W_k)c_k}{eE}$${\frac {dc_{k}}{d\mathbf {k} }}={\frac {i(W_{z}-W_{k})c_{k}}{eE}}$ ,

как и

$c_k=c_0\exp <!--\; \; -->\left\{{\int <!--\; \int \; -->}_{}^{}\frac{i(W_z-<!--\; -\; -->W_k)}{eE}d\mathbf{k}\right\}$$c_{k}=c_{0}\exp \left\lbrace \int _{}^{}{\frac {i(W_{z}-W_{k})}{eE}}\,d\mathbf {k} \right\rbrace$ .

Для того, чтобы периодичность волновой функции сохранялась, функция $c_k$$c_{k}$  должна быть периодической. Если положить

$W_k=W_0+W(\mathbf{k}),$$W_{k}=W_{0}+W(\mathbf {k} ),$ 

где $W_k=W_0$$W_{k}=W_{0}$  — энергия центра зоны, то с условия периодичности вытекает равенство энергий

$W_z-<!--\; -\; -->W_0=e\mathbf{E}{n}^{\prime }(\mathbf{a}),$$W_{z}-W_{0}=e\mathbf {E} n'(\mathbf {a} ),$ 

где $n^{\prime }$$n'$  — целое число, а $\mathbf{a}$${\mathbf {a}}$  — вектор элементарной ячейки. В результате, состояние, которому отвечает собственное значение $W_z$$W_{z}$ , локализовано в пространстве у элементарной ячейки, расположенной в точке $n^{\prime }\mathbf{a}$$n'\mathbf {a}$ , откуда полагая $n^{\prime }\mathbf{a}=\mathbf{r}$$n'\mathbf {a} =\mathbf {r}$ , находим

$c_k=c_0\exp <!--\; \; -->\left\{-<!--\; -\; -->i(\mathbf{k}{\mathbf{r}}_{\mathbf{0}}{\int <!--\; \int \; -->}_{}^{}\frac{i{W}_k}{eE}d\mathbf{k})\right\}$$c_{k}=c_{0}\exp \left\lbrace -i{\big (}\mathbf {k} \mathbf {r_{0}} \int _{}^{}{\frac {iW_{k}}{eE}}\,d\mathbf {k} {\big )}\right\rbrace$ .

Волновые функции Блоха здесь принимают вид

${\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_z=V^{-<!--\; -\; -->1/2}{c}_0\underset{\mathbf{k}}{\overset{\propto <!--\; \propto \; -->}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{u}_k(\mathbf{r})\exp <!--\; \; -->\left\{i{\int <!--\; \int \; -->}_{}^{}\frac{W(\mathbf{k})}{eE}d\mathbf{k}-<!--\; -\; -->i\mathbf{k}({\mathbf{r}}_{\mathbf{0}}\mathbf{-<!--\; -\; -->}\mathbf{r})\right\}.$$\psi _{z}=V^{-1/2}c_{0}\sum _{\mathbf {k} }^{\propto }\;u_{k}(\mathbf {r} )\exp \left\lbrace i\int _{}^{}{\frac {W(\mathbf {k} )}{eE}}\,d\mathbf {k} -i\mathbf {k} (\mathbf {r_{0}-r} )\right\rbrace .$ 

Теперь можно использовать простую модель, описывающую зону по направлению поля $\mathbf{E}$$\mathbf {E}$ :

$W\mathbf{k}=-<!--\; -\; -->\frac{W_b}{2}\cos <!--\; \; -->ka$$W\mathbf {k} =-{\frac {W_{b}}{2}}\cos ka$ 

$-{\frac {\pi }{a}}<k<{\frac {\pi }{a}},$ 

где $W_b$$W_{b}$  — ширина зоны. Далее предполагаем, что функция $u_k(\mathbf{r})$$u_{k}(\mathbf {r} )$  от $\mathbf{k}$$\mathbf {k}$ . Тогда

${\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_z=V^{-<!--\; -\; -->1/2}{c}_{0}u(\mathbf{r})\underset{\mathbf{k}}{\overset{\propto <!--\; \propto \; -->}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\exp <!--\; \; -->\left\{-<!--\; -\; -->\frac{i{W}_b\sin <!--\; \; -->ka}{2eEa}-<!--\; -\; -->i\mathbf{k}{\mathbf{r}}_{\mathbf{0}}\mathbf{-<!--\; -\; -->}\mathbf{r}\right\}=$$\psi _{z}=V^{-1/2}c_{0}u(\mathbf {r} )\sum _{\mathbf {k} }^{\propto }\;\exp \left\lbrace -{\frac {iW_{b}\sin {ka}}{2eEa}}-i\mathbf {k} \mathbf {r_{0}-r} \right\rbrace =$ 

$=c_{0}u(\mathbf{r})J_n(\frac{W_b}{2eEa}),n=(x_0-<!--\; -\; -->x)/a,$$=c_{0}u(\mathbf {r} )J_{n}({\frac {W_{b}}{2eEa}}),\quad n=(x_{0}-x)/a,$ 

где $J_n(z)$$J_{n}(z)$  — функция Бесселя, $n$$n$  — целое число, а поле направлено вдоль оси $x$$x$ . У точки $x=x_0$$x = x_0$  функция $J_n(z)$$J_{n}(z)$  ведет себя подобно стоящей волны с волновым вектором величины $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/2a$$\pi /2a$ , то есть длина волнового вектора ровная половине расстоянии от центра зоны Бриллюэна к его границе. Когда $|x_0-<!--\; -\; -->x|\gg <!--\; \gg \; -->a$$|x_{0}-x|\gg \,a$ , асимптотическое разложение даёт

$J_n\left(\frac{W_b}{2eEa}\right)\approx <!--\; \approx \; -->\frac{(-<!--\; -\; -->1{)}^{|x_0-<!--\; -\; -->x|/a}}{(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}|x_0-<!--\; -\; -->x|/a{)}^{1/2}}{\left(\frac{e_n{L}_z}{2|x_0-<!--\; -\; -->x|}\right)}^{|x_0-<!--\; -\; -->x|/a}$$J_{n}\left({\frac {W_{b}}{2eEa}}\right)\approx \;{\frac {(-1)^{|x_{0}-x|/a}}{(2\pi |x_{0}-x|/a)^{1/2}}}\left({\frac {e_{n}L_{z}}{2|x_{0}-x|}}\right)^{|x_{0}-x|/a}$ ,

где $L_z$$L_{z}$  — классическая амплитуда пространственных осцилляций, а $e_n$$e_{n}$  — основание натуральных логарифмов. Ясно, что при $|x_0-<!--\; -\; -->x|>e_n{L}_z/2$$|x_{0}-x|>e_{n}L_{z}/2$  волновая функция очень быстро затихает. Она уменьшается при $|x_0-<!--\; -\; -->x|\to <!--\; \to \; -->0$$|x_{0}-x|\rightarrow 0$ , достигая максимума в точке $|x_0-<!--\; -\; -->x|=L_z/2$$|x_{0}-x|=L_{z}/2$ . Поведение этой волновой функции качественно напоминает поведение гармоничного осцилятора — она растет у концов отрезка, соответствующие классическим точкам поворота. С тем, чтобы наблюдать это явление необходимо удовлетворить условия

${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_z\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}>1,$$\omega _{z}\tau >1,$ 

где $\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$\tau$  — время между столкновениями. Обычно расчет времени $\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$\tau$  проводят для состояний, близких к краям зоны. Типичные значения $\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$\tau$  около ${10}^{-<!--\; -\; -->13}$$10^{{-13}}$  с. В результате, электрон который осуществляет колебания Зинера — Блоха, большую часть времени находится около краёв зоны, и потому разумно принять оценку времени около ${10}^{-<!--\; -\; -->13}$$10^{{-13}}$ . Для этой цели необходимо создать поля, которые превысят $2\cdot <!--\; \cdot \; -->{10}^6$$2\cdot 10^{6}$  В/м. Во многих случаях такое сильное поле может привести к пробою полупроводника.

См. такжеПравить

• Квантовый осциллятор
• Осцилляции Блоха