Основное кинетическое уравнение

Основное кинетическое уравнение — феноменологическое уравнение, описывающее эволюцию системы во времени. Установлено В. Паули в 1928 году. Название «основное уравнение» — перевод термина англ. Master equation. Называется также производящее уравнение, управляющее уравнение, уравнение кинетического баланса. Иногда также называют уравнением Паули (не путать с уравнением Паули, являющимся обобщением уравнения Шрёдингера!).

Для процесса, не зависящего от прошлого системы (марковский процесс), основное кинетическое уравнение имеет вид:

$\frac{d{P}_n}{dt}=\underset{m\ne <!--\; \ne \; -->n}{\sum <!--\; \sum \; -->}\left(w_{nm}\cdot <!--\; \cdot \; -->P_m-<!--\; -\; -->w_{mn}\cdot <!--\; \cdot \; -->P_n\right)$${\frac {dP_{n}}{dt}}=\sum _{m\neq n}\left(w_{nm}\cdot P_{m}-w_{mn}\cdot P_{n}\right)$.

где

• $P_m={\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_{mm}$$P_{m}=\rho _{mm}$ и $P_n={\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_{nn}$$P_{n}=\rho _{nn}$ — вероятности того, что система находится в состояниях $m$$m$ и $n$$n$, соответствующие диагональным элементам матрицы плотности $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$$\rho$;
• $w_{mn}=\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{b}(n\to <!--\; \to \; -->m)$$w_{mn}=\mathrm {prob} (n\rightarrow m)$ — вероятность перехода системы из состояния $n$$n$ в состояние $m$$m$ в единицу времени (скорость изменения вероятности);
• $w_{nm}=\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{b}(m\to <!--\; \to \; -->n)$$w_{nm}=\mathrm {prob} (m\rightarrow n)$ — вероятность обратного перехода системы из состояния $m$$m$ в состояние $n$$n$ в единицу времени (скорость изменения вероятности).

В общем случае, при наличии в системе эффекта памяти, её прошлое состояние оказывает влияние на будущее (немарковский процесс). В этом случае основное кинетическое уравнение имеет вид:

$\frac{d{P}_n(t)}{dt}=\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{t}{\int <!--\; \int \; -->}}\underset{m}{\sum <!--\; \sum \; -->}\left(w_{nm}(t-<!--\; -\; -->\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})\cdot <!--\; \cdot \; -->P_m(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})-<!--\; -\; -->w_{mn}(t-<!--\; -\; -->\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})\cdot <!--\; \cdot \; -->P_n(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})\right)d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$${\frac {dP_{n}(t)}{dt}}=\int \limits _{-\infty }^{t}\sum _{m}\left(w_{nm}(t-\tau )\cdot P_{m}(\tau )-w_{mn}(t-\tau )\cdot P_{n}(\tau )\right)\,d\tau$,

где

• $w_{mn}(t-<!--\; -\; -->\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})$$w_{mn}(t-\tau )$ — функция памяти системы.

Для системы с непрерывно распределённой случайной переменной $x$$x$, основное кинетическое уравнение определяет плотность вероятности $W(x,t)$$W(x,t)$:

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}W(x,t)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}=\int <!--\; \int \; -->\left(w(x,x^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}})\cdot <!--\; \cdot \; -->W(x^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}},t)-<!--\; -\; -->w(x^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}},x)\cdot <!--\; \cdot \; -->W(x,t)\right)d{x}^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}$${\frac {\partial W(x,t)}{\partial t}}=\int \left(w(x,x^{\prime })\cdot W(x^{\prime },t)-w(x^{\prime },x)\cdot W(x,t)\right)\,dx^{\prime }$

где

• $w(x,x^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}})$$w(x,x^{\prime })$ — плотность вероятности перехода $x^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}\to <!--\; \to \; -->x$$x^{\prime }\rightarrow x$ в единицу времени.

Примеры основных уравнений:

• уравнение Линдблада
• уравнение Фоккера — Планка
• уравнение Больцмана

ЛитератураПравить

• Кинетическое уравнение основное — статья из Физической энциклопедии