Ортоцентроидная окружность
Ортоцентроидная окружность неравностороннего треугольника — это окружность, построенная на отрезке, соединяющем его ортоцентр и центроид, как на диаметре. Этот диаметр также содержит центр описанной окружности и центр окружности девяти точек треугольника и является частью прямой Эйлера.
Гвинанд (Guinand) в 1984 г. показал, что инцентр треугольника должен лежать внутри ортоцентроидной окружности, но не совпадать с центром девяти точек; то есть он должен попадать в открытый ортоцентроидный диск с вырезанным внутри центром девяти точек[1][2][3][4][5]:pp. 451–452.
Более того[2], точка Ферма, точка Жергонна и точка Лемуана лежат в открытом ортоцентроидном диске с вырезанным внутри своим собственным центром (и могут быть в любой точке внутри него), тогда как вторая точка Ферма находится снаружи ортоцентроидного круга (и также может быть в любой точке снаружи). Возможные положения первой и второй точек Брокара также находятся в открытом ортоцентроидном диске[6].
Квадрат диаметра ортоцентроидной окружности равен[7]:p.102 где a, b и c — длины сторон треугольника, D — диаметр описанной окружности.
ПримечанияПравить
- ↑ Guinand, Andrew P. (1984), Euler lines, tritangent centers, and their triangles, American Mathematical Monthly Т. 91 (5): 290–300 .
- ↑ 1 2 Bradley, Christopher J. & Smith, Geoff C. (2006), The locations of triangle centers, Forum Geometricorum Т. 6: 57–70, <http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200607index.html> Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine.
- ↑ Stern, Joseph (2007), Euler’s triangle determination problem, Forum Geometricorum Т. 7: 1–9, <http://forumgeom.fau.edu/FG2007volume7/FG200701.pdf> Архивная копия от 26 октября 2021 на Wayback Machine.
- ↑ Franzsen, William N. (2011), The distance from the incenter to the Euler line, Forum Geometricorum Т. 11: 231–236, <http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201126index.html> Архивная копия от 22 октября 2021 на Wayback Machine.
- ↑ Leversha, Gerry & Smith, G. C. (November 2007), Euler and triangle geometry, Mathematical Gazette Т. 91 (522): 436–452 .
- ↑ Bradley, Christopher J. & Smith, Geoff C. (2006), The locations of the Brocard points, Forum Geometricorum Т. 6: 71–77, <http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200608index.html> Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine.
- ↑ Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, Dover Publications, 2007 (orig. Barnes & Noble 1952).