Гипероктаэдр

Гиперокта́эдр — геометрическая фигура в n-мерном евклидовом пространстве: правильный политоп, двойственный n-мерному гиперкубу. Другие названия: кокуб, ортоплекс, кросс-политоп.

Символ Шлефли n-мерного гипероктаэдра — {3;3;...;3;4}, где всего в скобках (n-1) число.

Гипероктаэдр можно понимать как шар в метрике городских кварталов.

Частные случаиПравить

Число измерений n	Название фигуры	Символ Шлефли	Изображение
1	отрезок	{}
2	квадрат	{4}
3	октаэдр	{3;4}
4	шестнадцатиячейник	{3;3;4}
5	5-ортоплекс	{3;3;3;4}

ОписаниеПравить

$n$$n$ -мерный гипероктаэдр имеет $2n$$2n$  вершин; любая вершина соединена ребром с любой другой — кроме (при $n>1)$$n>1)$  вершины, симметричной ей относительно центра политопа.

Все его $k$$k$ -мерные гиперграни $(k<n)$  — одинаковые правильные симплексы; их число равно $2^{k+1}{C}_n^{k+1}.$$2^{k+1}C_{n}^{k+1}.$ 

Угол между двумя смежными $(n-<!--\; -\; -->1)$$(n-1)$ -мерными гипергранями (при $n>1)$$n>1)$  равен $\arccos <!--\; \; -->\left(\frac{2-<!--\; -\; -->n}{n}\right)$$\arccos \left({\frac {2-n}{n}}\right)$ .

$n$$n$ -мерный гипероктаэдр $(n>1)$$(n>1)$  можно представить как две одинаковых правильных $n$$n$ -мерных пирамиды, приложенные друг к другу своими основаниями в форме $(n-<!--\; -\; -->1)$$(n-1)$ -мерного гипероктаэдра.

В координатахПравить

$n$$n$ -мерный гипероктаэдр можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы его вершины имели координаты $(\pm <!--\; \pm \; -->1;0;\dots <!--\; \dots \; -->;0),$$(\pm 1;0;\ldots ;0),$  $(0;\pm <!--\; \pm \; -->1;\dots <!--\; \dots \; -->;0),\dots <!--\; \dots \; -->,$$(0;\pm 1;\ldots ;0),\ldots ,$  $(0;0;\dots <!--\; \dots \; -->;\pm <!--\; \pm \; -->1).$$(0;0;\ldots ;\pm 1).$  При этом каждая из $2^n$$2^{n}$  его $(n-<!--\; -\; -->1)$$(n-1)$ -мерных гиперграней будет располагаться в одном из $2^n$$2^{n}$  ортантов $n$$n$ -мерного пространства.

Начало координат $(0;0;...;0)$$(0;0;...;0)$  будет центром симметрии политопа, а также центром его вписанной, описанной и полувписанных гиперсфер.

Поверхность гипероктаэдра будет геометрическим местом точек $(x_1;x_2;\dots <!--\; \dots \; -->;x_n),$$(x_{1};x_{2};\ldots ;x_{n}),$  чьи координаты удовлетворяют уравнению

$\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}|x_i|=1,$$\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|=1,$ 

а внутренность — геометрическим место точек, для которых

$\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|<1.$ 

Метрические характеристикиПравить

Если $n$$n$ -мерный гипероктаэдр $(n>1)$$(n>1)$  имеет ребро длины $a,$$a,$  то его $n$$n$ -мерный гиперобъём и $(n-<!--\; -\; -->1)$$(n-1)$ -мерная гиперплощадь поверхности выражаются соответственно как

$V_n=\frac{(a\sqrt{2}{)}^n}{n!},$$V_{n}={\frac {(a{\sqrt {2}})^{n}}{n!}},$ 

$S_{n-<!--\; -\; -->1}=\frac{a^{n-<!--\; -\; -->1}\sqrt{n{2}^{n+1}}}{(n-<!--\; -\; -->1)!}.$$S_{n-1}={\frac {a^{n-1}{\sqrt {n2^{n+1}}}}{(n-1)!}}.$ 

Радиус описанной $(n-<!--\; -\; -->1)$$(n-1)$ -мерной гиперсферы (проходящей через все вершины) при этом будет равен

$R={\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_0=\frac{a}{\sqrt{2}},$$R=\rho _{0}={\frac {a}{\sqrt {2}}},$ 

радиус $k$$k$ -й полувписанной гиперсферы (касающейся всех $k$$k$ -мерных гиперграней в их центрах; $k < n$ ) —

${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_k=\frac{a}{\sqrt{2(k+1)}},$$\rho _{k}={\frac {a}{\sqrt {2(k+1)}}},$ 

радиус вписанной гиперсферы (касающейся всех $(n-<!--\; -\; -->1)$$(n-1)$ -мерных гиперграней в их центрах) —

$r={\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_{n-<!--\; -\; -->1}=\frac{a}{\sqrt{2n}}.$$r=\rho _{n-1}={\frac {a}{\sqrt {2n}}}.$ 

СсылкиПравить

• Weisstein, Eric W. Гипероктаэдр (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.