Ортогональная система координат

Ортогональными называются криволинейные координаты, в которых метрический тензор имеет диагональный вид.

$d{s}^2=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\left(h_{k}d{q}^k\right)}^2$$ds^{2}=\sum _{k=1}^{n}\left(h_{k}dq^{k}\right)^{2}$,

где $n$$n$ - размерность пространства. Скалярный фактор

$h_k(\mathbf{q})\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\sqrt{g_{kk}(\mathbf{q})}=|{\mathbf{e}}_k|$$h_{k}(\mathbf {q} )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {g_{kk}(\mathbf {q} )}}=|\mathbf {e} _{k}|$

равен корню квадратному от диагональных компонент метрического тензора, или длине локального базисного вектора ${\mathbf{e}}_k$$\mathbf {e} _{k}$.

В ортогональных системах координат $\mathbf{q}=(q^1,q^1,\dots <!--\; \dots \; -->,q^n)$$\mathbf {q} =(q^{1},q^{1},\ldots ,q^{n})$ координатные поверхности ортогональны друг другу. В частности, в декартовой системе координат ортогональны друг другу координатные оси $Ox$$Ox$, $Oy$$Oy$ и $Oz$$Oz$.

Выбор той или иной системы ортогональных координат определяется симметрией системы. Например, при решении задачи о распространении электромагнитной волны от точечного источника выгодно пользоваться сферической системой координат; при решении задачи о колебании мембраны предпочтительней цилиндрическая система координат.

Математические преобразованияПравить

Базисные векторыПравить

В ортогональных системах скалярное произведение базисных векторов равно:

$\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\left\{{\begin{matrix}0,&i\neq j{;}\\\vert \mathbf {e} _{i}\vert ^{2},&i=j{.}\end{matrix}}\right.$ 

В большинстве случаев используют нормированные базисные векторы, для которых ${\mathbf{e}}_i^{\left(n\right)}=\frac{{\mathbf{e}}_i}{\left|{\mathbf{e}}_i\right|}$$\mathbf {e} _{i}^{\left(n\right)}={\frac {\mathbf {e} _{i}}{\left|\mathbf {e} _{i}\right|}}$ .

Для нормированных базисных векторов ${\mathbf{e}}_i\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathbf{e}}_j={\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{ij}$$\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{ij}$ , где ${\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{ij}$$\delta _{ij}$  — символ Кронекера.

Скалярное произведениеПравить

Скалярное произведение векторов в ортогональных системах вычисляется по формуле:

$\mathbf{x}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{y}=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{h}_k^2{x}^k{y}^k=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{x_k{y}_k}{h_k^2}=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x}^k{y}_k=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x}_k{y}^k$$\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{k=1}^{n}h_{k}^{2}x^{k}y^{k}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {x_{k}y_{k}}{h_{k}^{2}}}=\sum _{k=1}^{n}x^{k}y_{k}=\sum _{k=1}^{n}x_{k}y^{k}$ .