Опыт Хейнса — Шокли

Опыт Хейнса — Шокли — классический физический эксперимент, впервые доказавший существование тока неосновных носителей (дырочной проводимости в полупроводнике n-типа) в полупроводниках и позволивший измерить основные свойства дырок — скорость дрейфа и скорость диффузии. Опыт был поставлен Ричардом Хейнсом в лаборатории полупроводников Bell Labs в феврале 1948 года и теоретически объяснён Уильямом Шокли. Статья Хейнса и Шокли с описанием опыта была опубликована в 1949 году в Physical Review.

Установка для проведения опыта Хейнса, 1948

Форма сигнала на зонде-коллекторе. Узкий первый импульс совпадает по времени с передним фронтом импульса генератора.

Описание экспериментаПравить

В своём первом опыте Хейнс использовал стержень из германия с электронным типом проводимости длиной 25 мм и поперечным сечением около 8 мм². Концы стержня были подключены к батарее, порождавшей в стержне ток электронов (справа налево, из минуса — в плюс). Левый по схеме скользящий контакт-зонд (аналог эмиттера точечного транзистора) был подключен к генератору коротких импульсов тока положительной полярности, правый контакт-зонд (аналог коллектора) был подключен к осциллографу, синхронизируемому генератором в ждущем режиме.

Если бы стержень был изготовлен не из полупроводника, а из металла, то в нём бы протекал только ток электронов, и наблюдаемый на экране осциллографа импульс совпадал бы по времени с импульсом тока генератора. Но в эксперименте с германиевым стержнем на экране осциллографа наблюдалось два импульса. Первый из них, узкий импульс тока замыкания, совпадал по времени с передним фронтом импульса генератора, второй (импульс дырочного тока) значительно оставал от импульса генератора и имел размытую, колоколообразную форму. Задержка и ширина второго импульса увеличивались с ростом расстояния между зондами. При изменении полярности батареи второй (размытый) импульс не наблюдался.

Шокли объяснил увиденное тем, что эмиттер инжектирует в стержень не электроны, а дырки. Инжектированные дырки дрейфуют в сторону отрицательного полюса батареи (вправо) со скоростью, прямо пропорциональной напряжённости поля в полупроводнике. Время дрейфа между двумя зондами пропрорционально расстоянию между ними. Одновременно, хаотичные тепловые перемещения дырок (диффузия) приводят к размыванию формы импульса. За время дрейфа группы инжектированных дырок между двумя зондами «она может распространиться по всему поперечному сечению образца и вдоль него на величину, кратную нескольким его диаметрам». При изменении полярности батареи дырки движутся в сторону, противоположную коллектору (влево от эмиттера) — поэтому расположенный справа от эмиттера коллектор «не видит» импульса дырочного тока.

Измерения, проведённые на кремнии и германии разных типов проводимости, подтвердили положение статистической физики о том, что подвижность μ (зависимость скорости дрейфа от напряжённости поля) и электронов, и дырок связана с коэффициентом диффузии D простым отношением:

D = μ (kT/q), где kT/q — электрический потенциал, соответствующий средней тепловой энергии электрона, и равный 25 мВ при комнатной температуре.

Смысл его таков, что электрон, участвующий в беспорядочном тепловом движении, способен преодолеть потенциальный барьер с высотой, равной в среднем 0,025 В. Другими словами, 0,025 В — это электрический потенциал, соответствующий средней тепловой энергии электрона. То обстоятельство, что указанное отношение равно 0,025 В, показывает, что заряд носителей, дрейф и диффузия которых исследуются в опыте Хайнса, равен по величине заряду электрона.

Уравнения для токовПравить

Чтобы увидеть эффект, рассмотрим полупроводник n-типа длиной d. Нас будут интересовать такие характеристики носителей тока как подвижность, коэффициент диффузии и время релаксации. Удобно рассматривать одномерную задачу (векторы опущены для простоты).

Уравнения для электронного и дырочного токов записываются в виде:

$j_e=-<!--\; -\; -->{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_{n}nE-<!--\; -\; -->D_n\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}n}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}$$j_{e}=-\mu _{n}nE-D_{n}{\frac {\partial n}{\partial x}}$ 

$j_p=+{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_{p}pE-<!--\; -\; -->D_p\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}p}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}$$j_{p}=+\mu _{p}pE-D_{p}{\frac {\partial p}{\partial x}}$ 

где j_e(p) — плотность тока для электронов (e) и дырок(p), μ_e(p) — соответствующие подвижности, E — электрическое поле, n и p — плотности носителей заряда, D_e(p) — коэффициенты диффузии, x — независимая координата. Первое слагаемое в каждом уравнении линейное по электрическому полю соответствует дрейфовой составляющей полного тока, а второе — пропорциональное градиенту концентрации — диффузии.

ВыводПравить

Рассмотрим уравнение непрерывности:

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}n}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}=\frac{-<!--\; -\; -->(n-<!--\; -\; -->n_0)}{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_n}-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{j}_e}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}$${\frac {\partial n}{\partial t}}={\frac {-(n-n_{0})}{\tau _{n}}}-{\frac {\partial j_{e}}{\partial x}}$ 

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}p}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}=\frac{-<!--\; -\; -->(p-<!--\; -\; -->p_0)}{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_p}-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{j}_p}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}.$${\frac {\partial p}{\partial t}}={\frac {-(p-p_{0})}{\tau _{p}}}-{\frac {\partial j_{p}}{\partial x}}.$ 

Индекс 0 указывает равновесные концентрации. Электроны и дырки рекомбинируют с временем жизни носителей τ.

Определим

$p_1=p-<!--\; -\; -->p_0,n_1=n-<!--\; -\; -->n_0$$p_{1}=p-p_{0}\,,\quad n_{1}=n-n_{0}$ 

поэтому приведённая выше система уравнений преобразуется к виду:

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{p}_1}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}=D_p\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2{p}_1}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^2}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_{p}p\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}E}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_{p}E\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{p}_1}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}-<!--\; -\; -->\frac{p_1}{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_p}$${\frac {\partial p_{1}}{\partial t}}=D_{p}{\frac {\partial ^{2}p_{1}}{\partial x^{2}}}-\mu _{p}p{\frac {\partial E}{\partial x}}-\mu _{p}E{\frac {\partial p_{1}}{\partial x}}-{\frac {p_{1}}{\tau _{p}}}$ 

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{n}_1}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}=D_n\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2{n}_1}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^2}+{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_{n}n\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}E}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}+{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_{n}E\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{n}_1}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}-<!--\; -\; -->\frac{n_1}{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_n}$${\frac {\partial n_{1}}{\partial t}}=D_{n}{\frac {\partial ^{2}n_{1}}{\partial x^{2}}}+\mu _{n}n{\frac {\partial E}{\partial x}}+\mu _{n}E{\frac {\partial n_{1}}{\partial x}}-{\frac {n_{1}}{\tau _{n}}}$ 

В простейшем приближении, можно считать электрическое поле постоянным между левым и правым электродами и пренебречь ∂E/∂x, однако, электроны и дырки диффундируют с разными скоростями, и материал имеет локальный электрический заряд, вызывая неоднородное распределение электрического поля, которое может быть рассчитано из закона Гаусса:

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}E}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}=\frac{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_0}=\frac{e_0((p-<!--\; -\; -->p_0)-<!--\; -\; -->(n-<!--\; -\; -->n_0))}{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_0}=\frac{e_0(p_1-<!--\; -\; -->n_1)}{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_0}$${\frac {\partial E}{\partial x}}={\frac {\rho }{\epsilon \epsilon _{0}}}={\frac {e_{0}((p-p_{0})-(n-n_{0}))}{\epsilon \epsilon _{0}}}={\frac {e_{0}(p_{1}-n_{1})}{\epsilon \epsilon _{0}}}$ 

где ε — диэлектрическая проницаемость полупроводника, ε₀ — диэлектрическая проницаемость вакуума, ρ — плотность заряда, и e₀ — элементарный заряд.

сделаем замену переменных:

$p_1=n_{\text{mean}}+\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->},n_1=n_{\text{mean}}-<!--\; -\; -->\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->},$$p_{1}=n_{\text{mean}}+\delta \,,\quad n_{1}=n_{\text{mean}}-\delta \,,$ 

и пусть δ будет гораздо меньше, чем $n_{\text{mean}}$$n_{\text{mean}}$ . Два исходных уравнений запишутся в виде:

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{n}_{\text{mean}}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}=D_p\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2{n}_{\text{mean}}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^2}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_{p}p\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}E}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_{p}E\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{n}_{\text{mean}}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}-<!--\; -\; -->\frac{n_{\text{mean}}}{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_p}$${\frac {\partial n_{\text{mean}}}{\partial t}}=D_{p}{\frac {\partial ^{2}n_{\text{mean}}}{\partial x^{2}}}-\mu _{p}p{\frac {\partial E}{\partial x}}-\mu _{p}E{\frac {\partial n_{\text{mean}}}{\partial x}}-{\frac {n_{\text{mean}}}{\tau _{p}}}$ 

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{n}_{\text{mean}}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}=D_n\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2{n}_{\text{mean}}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^2}+{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_{n}n\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}E}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}+{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_{n}E\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{n}_{\text{mean}}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}-<!--\; -\; -->\frac{n_{\text{mean}}}{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_n}$${\frac {\partial n_{\text{mean}}}{\partial t}}=D_{n}{\frac {\partial ^{2}n_{\text{mean}}}{\partial x^{2}}}+\mu _{n}n{\frac {\partial E}{\partial x}}+\mu _{n}E{\frac {\partial n_{\text{mean}}}{\partial x}}-{\frac {n_{\text{mean}}}{\tau _{n}}}$ 

Используя соотношение Эйнштейна $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=e\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}D$$\mu =e\beta D$ , где β — величина обратная произведению температуры и постояннай Больцмана, эти два уравнения можно объединить:

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{n}_{\text{mean}}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}=D^{\ast <!--\; \ast \; -->}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2{n}_{\text{mean}}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^2}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}E\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{n}_{\text{mean}}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}-<!--\; -\; -->\frac{n_{\text{mean}}}{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}},$${\frac {\partial n_{\text{mean}}}{\partial t}}=D^{*}{\frac {\partial ^{2}n_{\text{mean}}}{\partial x^{2}}}-\mu ^{*}E{\frac {\partial n_{\text{mean}}}{\partial x}}-{\frac {n_{\text{mean}}}{\tau ^{*}}},$ 

где для D*, μ* and τ* справедливо:

$D^{\ast <!--\; \ast \; -->}=\frac{D_n{D}_p(n+p)}{p{D}_p+n{D}_n}$$D^{*}={\frac {D_{n}D_{p}(n+p)}{pD_{p}+nD_{n}}}$ , ${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}=\frac{{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_n{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_p(n-<!--\; -\; -->p)}{p{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_p+n{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_n}$$\mu ^{*}={\frac {\mu _{n}\mu _{p}(n-p)}{p\mu _{p}+n\mu _{n}}}$  and $\frac{1}{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}}=\frac{p{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_p{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_p+n{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_n{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_n}{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_p{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_n(p{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_p+n{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_n)}.$${\frac {1}{\tau ^{*}}}={\frac {p\mu _{p}\tau _{p}+n\mu _{n}\tau _{n}}{\tau _{p}\tau _{n}(p\mu _{p}+n\mu _{n})}}.$ 

Учитывая, n >> p или p → 0 (что справедливо для полупроводников только с малой концентрацией неосновных носителей), D* → D_p, μ* → μ_p и 1/τ* → 1/τ_p. Полупроводник ведет себя, как если бы только дырки двигались в нём.

Окончательное выражение для носителей:

$n_{\text{mean}}(x,t)=A\frac{1}{\sqrt{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{D}^{\ast <!--\; \ast \; -->}t}}{e}^{-<!--\; -\; -->t/{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}}{e}^{-<!--\; -\; -->\frac{(x+{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}Et-<!--\; -\; -->x_0{)}^2}{4D^{\ast <!--\; \ast \; -->}t}}$$n_{\text{mean}}(x,t)=A{\frac {1}{\sqrt {4\pi D^{*}t}}}e^{-t/\tau ^{*}}e^{-{\frac {(x+\mu ^{*}Et-x_{0})^{2}}{4D^{*}t}}}$ 

Его можно интерпретировать как дельта-функцию, которая создается сразу же после импульса. Дырки затем начать двигаться к противоположному электроду, где их детектируют. Сигнал при этом приоретает форму гауссиана.

Параметры μ, D и τ можно получить из анализа формы сигнала.

${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}=\frac{d}{E{t}_0},$$\mu ^{*}={\frac {d}{Et_{0}}}\,,$ 

$D^{\ast <!--\; \ast \; -->}=({\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}E{)}^2\frac{(\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}t{)}^2}{16t_0},$$D^{*}=(\mu ^{*}E)^{2}{\frac {(\delta t)^{2}}{16t_{0}}}\,,$ 

где d — расстояние дрейфа за время t₀, и δt — ширина импульса.

ИсточникиПравить

• Haynes, R.; Shockley, W. Investigation of Hole Injection in Transistor Action // Physical Review. — 1949. — Т. 75. — С. 691—699.
• Шокли, В. Физика транзисторов // Успехи физических наук. — 1958. — Т. LXIV, № 1. — С. 155—192.