Опоясанный двуклинник

Опоя́санный двукли́нник — один из многогранников Джонсона (J₉₀, по Залгаллеру — М₂₄).

Опоясанный двуклинник
(3D-модель)
Тип	многогранник Джонсона
Свойства	выпуклый
Комбинаторика
Элементы	24 грани 38 рёбер 16 вершин Χ = 2
Грани	20 треугольников 4 квадрата
Конфигурация вершины	4(32.42) 4(35) 8(34.4)
Развёртка
Классификация
Обозначения	J90, М24
Группа симметрии	D2d

Составлен из 24 граней: 20 правильных треугольников и 4 квадратов. Каждая квадратная грань окружена квадратной и тремя треугольными; среди треугольных граней 12 окружены квадратной и двумя треугольными, остальные 8 — тремя треугольными.

Имеет 38 рёбер одинаковой длины. 2 ребра располагаются между двумя квадратными гранями, 12 рёбер — между квадратной и треугольной, остальные 24 — между двумя треугольными.

У опоясанного двуклинника 16 вершин. В 4 вершинах сходятся две квадратных грани и две треугольных; в 8 вершинах — квадратная и четыре треугольных; в остальных 4 — пять треугольных.

Метрические характеристикиПравить

Если опоясанный двуклинник имеет ребро длины $a$$a$ , его площадь поверхности и объём выражаются как

$S=\left(4+5\sqrt{3}\right)a^2\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{12,660}2540a^2,$$S=\left(4+5{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 12{,}6602540a^{2},$ 

$V\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{3,777}63a^3.$$V\approx 3{,}77763a^{3}.$ 

В координатахПравить

Опоясанный двуклинник с длиной ребра $2$$2$  можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы его вершины имели координаты

• $\left(\pm <!--\; \pm \; -->1;0;2\sqrt{1-<!--\; -\; -->{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^2}+\frac{\sqrt{2+8\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}-<!--\; -\; -->8{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^2}}{2}\right),$$\left(\pm 1;\;0;\;2{\sqrt {1-\xi ^{2}}}+{\frac {\sqrt {2+8\xi -8\xi ^{2}}}{2}}\right),$ 
• $\left(\pm <!--\; \pm \; -->1;\pm <!--\; \pm \; -->2\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->};\frac{\sqrt{2+8\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}-<!--\; -\; -->8{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^2}}{2}\right),$$\left(\pm 1;\;\pm 2\xi ;\;{\frac {\sqrt {2+8\xi -8\xi ^{2}}}{2}}\right),$ 

• $\left(\pm <!--\; \pm \; -->\left(1+\sqrt{\frac{3-<!--\; -\; -->4{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^2}{1-<!--\; -\; -->{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^2}}\right);0;\frac{1-<!--\; -\; -->2{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^2}{\sqrt{1-<!--\; -\; -->{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^2}}+\frac{\sqrt{2+8\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}-<!--\; -\; -->8{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^2}}{2}\right),$$\left(\pm \left(1+{\sqrt {\frac {3-4\xi ^{2}}{1-\xi ^{2}}}}\right);\;0;\;{\frac {1-2\xi ^{2}}{\sqrt {1-\xi ^{2}}}}+{\frac {\sqrt {2+8\xi -8\xi ^{2}}}{2}}\right),$ 
• $\left(0;\pm <!--\; \pm \; -->\left(1+\sqrt{\frac{3-<!--\; -\; -->4{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^2}{1-<!--\; -\; -->{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^2}}\right);-<!--\; -\; -->\frac{1-<!--\; -\; -->2{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^2}{\sqrt{1-<!--\; -\; -->{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^2}}-<!--\; -\; -->\frac{\sqrt{2+8\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}-<!--\; -\; -->8{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^2}}{2}\right),$$\left(0;\;\pm \left(1+{\sqrt {\frac {3-4\xi ^{2}}{1-\xi ^{2}}}}\right);\;-{\frac {1-2\xi ^{2}}{\sqrt {1-\xi ^{2}}}}-{\frac {\sqrt {2+8\xi -8\xi ^{2}}}{2}}\right),$ 
• $\left(\pm <!--\; \pm \; -->2\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->};\pm <!--\; \pm \; -->1;-<!--\; -\; -->\frac{\sqrt{2+8\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}-<!--\; -\; -->8{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^2}}{2}\right),$$\left(\pm 2\xi ;\;\pm 1;\;-{\frac {\sqrt {2+8\xi -8\xi ^{2}}}{2}}\right),$ 
• $\left(0;\pm <!--\; \pm \; -->1;-<!--\; -\; -->2\sqrt{1-<!--\; -\; -->{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^2}-<!--\; -\; -->\frac{\sqrt{2+8\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}-<!--\; -\; -->8{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^2}}{2}\right),$$\left(0;\;\pm 1;\;-2{\sqrt {1-\xi ^{2}}}-{\frac {\sqrt {2+8\xi -8\xi ^{2}}}{2}}\right),$ 

где $\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{0,767}1311$$\xi \approx 0{,}7671311$  — четвёртый по величине после наибольшего действительный корень уравнения

$256x^{12}-<!--\; -\; -->512x^{11}-<!--\; -\; -->1664x^{10}+3712x^9+1552x^8-<!--\; -\; -->6592x^7+1248x^6+4352x^5-<!--\; -\; -->2024x^4-<!--\; -\; -->944x^3+672x^2-<!--\; -\; -->24x-<!--\; -\; -->23=0.$$256x^{12}-512x^{11}-1664x^{10}+3712x^{9}+1552x^{8}-6592x^{7}+1248x^{6}+4352x^{5}-2024x^{4}-944x^{3}+672x^{2}-24x-23=0.$ 

При этом две оси симметрии многогранника будет совпадать с биссектрисами координатных углов плоскости xOy, а две плоскости симметрии — с плоскостями xOz и yOz.

СсылкиПравить

• Weisstein, Eric W. Опоясанный двуклинник (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Опоясанный двуклинник в базе знаний Wolfram Alpha