Оператор координаты

Оператор координаты — квантово-механический оператор, наряду с оператором импульса, использующийся для описания поведения системы. Так как координата является вещественной величиной, то оператор координаты эрмитов.

В координатном представлении оператор $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{X}$${\hat {X}}$ — сама координата $x$$x$; в импульсном представлении оператор координаты выражается через производную по импульсу:

$\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{X}=i\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathbf{p}}$${\hat {X}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial {\mathbf {p}}}}$.

Оператор координаты не коммутирует с оператором импульса, то есть:

$[\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{X},\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{P}]\not\equiv 0$$[{\hat {X}},{\hat {P}}]\not \equiv 0$

Таким образом, для пары наблюдаемых величин $x$$x$ и $p$$p$ выполняется соотношение неопределённостей Гейзенберга:

$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}p⩾<!--\; ⩾\; -->\frac{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}{2}$$\Delta x\Delta p\geqslant {\frac {\hbar }{2}}$,

где ħ — приведённая постоянная Планка.

Согласно каноническому коммутационному соотношению:

$[\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{X},\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{P_x}]=i\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}$$[{\hat {X}},{\hat {P_{{x}}}}]=i\hbar$

$[\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{Y},\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{P_y}]=i\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}$$[{\hat {Y}},{\hat {P_{{y}}}}]=i\hbar$

$[\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{Z},\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{P_z}]=i\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}$$[{\hat {Z}},{\hat {P_{{z}}}}]=i\hbar$

и все остальные коммутаторы между $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{X},\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{Y},\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{Z},\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{P_x},\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{P_y},\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{P_z}$${\hat {X}},{\hat {Y}},{\hat {Z}},{\hat {P_{{x}}}},{\hat {P_{{y}}}},{\hat {P_{{z}}}}$ равны 0.

Среднее значение координаты для состояния с волновой функцией $\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}$$\psi$ определяется как:

$⟨<!--\; ⟨\; -->x⟩<!--\; ⟩\; -->=(\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{X}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->},\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}\ast <!--\; \ast \; -->)=⟨<!--\; ⟨\; -->\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}|\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{X}|\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->=\underset{V}{\int <!--\; \int \; -->}x{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}dV$$\langle x\rangle =({\hat {X}}\psi ,\psi *)=\langle \psi \vert {\hat {X}}\vert \psi \rangle =\int \limits _{V}{x\psi ^{\ast }\psi }dV$

ЛитератураПравить

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 6-е, исправленное. — М.: Физматлит, 2004. — 800 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-9221-0530-2.