Оператор Д’Аламбера

Оператор Д’Аламбера (оператор Даламбера, волновой оператор, даламбертиан) — дифференциальный оператор второго порядка

$\mathrm{◻<!--\; ◻\; -->}u:=\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}u-<!--\; -\; -->\frac{1}{c^2}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{t}^2},$$\square u:=\Delta u-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}},$

где $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}$$\Delta$ — оператор Лапласа, $c$$c$ — постоянная. Иногда оператор пишется с противоположным знаком.

Имеет в декартовых координатах вид:

$\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^2}+\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{y}^2}+\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{z}^2}-<!--\; -\; -->\frac{1}{c^2}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{t}^2},$${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}},$

позволяющий прямое обобщение на любую конечную размерность пространства, как больше, так и меньше трёх (такое обобщение носит также название оператора Д’Аламбера, с добавлением, если это не ясно из контекста, «$n$$n$-мерный»).

В случае вектора оператор Даламбера приобретает вид:

$\mathrm{◻<!--\; ◻\; -->}\mathbf{A}:=\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\mathbf{A}-<!--\; -\; -->\frac{1}{c^2}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2\mathbf{A}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{t}^2}$$\square \mathbf {A} :=\Delta \mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}$, где $\mathbf{A}$$\mathbf {A}$ - вектор, $\mathbf{A}=A_x\mathbf{i}+A_y\mathbf{j}+A_z\mathbf{k}$$\mathbf {A} =A_{x}\mathbf {i} +A_{y}\mathbf {j} +A_{z}\mathbf {k}$

$\mathrm{◻<!--\; ◻\; -->}\mathbf{A}:=\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{A}_x\mathbf{i}+\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{A}_y\mathbf{j}+\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{A}_z\mathbf{k}-<!--\; -\; -->\frac{1}{c^2}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{t}^2}(A_x\mathbf{i}+A_y\mathbf{j}+A_z\mathbf{k})$$\square \mathbf {A} :=\Delta A_{x}\mathbf {i} +\Delta A_{y}\mathbf {j} +\Delta A_{z}\mathbf {k} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}(A_{x}\mathbf {i} +A_{y}\mathbf {j} +A_{z}\mathbf {k} )$

$\mathrm{◻<!--\; ◻\; -->}\mathbf{A}:=(\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2{A}_x}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^2}+\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2{A}_x}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{y}^2}+\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2{A}_x}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{z}^2})\mathbf{i}+(\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2{A}_y}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^2}+\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2{A}_y}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{y}^2}+\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2{A}_y}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{z}^2})\mathbf{j}+(\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2{A}_z}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^2}+\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2{A}_z}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{y}^2}+\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2{A}_z}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{z}^2})\mathbf{k}-<!--\; -\; -->\frac{1}{c^2}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{t}^2}(A_x\mathbf{i}+A_y\mathbf{j}+A_z\mathbf{k})$$\square \mathbf {A} :={\biggl (}{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial z^{2}}}{\Biggr )}\mathbf {i} +{\biggl (}{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial z^{2}}}{\Biggr )}\mathbf {j} +{\biggl (}{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial z^{2}}}{\Biggr )}\mathbf {k} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}(A_{x}\mathbf {i} +A_{y}\mathbf {j} +A_{z}\mathbf {k} )$

Назван по имени Ж. Д’Аламбера (J. D’Alembert, 1747), который рассматривал его простейший вид при решении одномерного волнового уравнения.

Применяется в электродинамике, акустике и других задачах распространения волн (преимущественно линейных). Оператор Д’Аламбера (соответствующей размерности) входит в волновое уравнение любой размерности, составляя его основу, а также в уравнение Клейна — Гордона — Фока.

Нетрудно увидеть, что оператор Д’Аламбера есть обобщение оператора Лапласа на случай пространства Минковского.

Запись в криволинейных координатахПравить

Оператор Д’Аламбера в сферических координатах:

$\frac{1}{r^2}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}r}\left(r^2\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}r}\right)+\frac{1}{r^2\sin <!--\; \; -->\mathrm{\Theta <!--\; \Theta \; -->}}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\Theta <!--\; \Theta \; -->}}\left(\sin <!--\; \; -->\mathrm{\Theta <!--\; \Theta \; -->}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\Theta <!--\; \Theta \; -->}}\right)+\frac{1}{r^2{\sin }^2<!--\; \; -->\mathrm{\Theta <!--\; \Theta \; -->}}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}^2}-<!--\; -\; -->\frac{1}{c^2}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{t}^2};$${\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \Theta }}{\frac {\partial }{\partial \Theta }}\left(\sin \Theta {\frac {\partial u}{\partial \Theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\Theta }}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \varphi ^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}};$ 

в цилиндрических координатах:

$\frac{1}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}\left(\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}\right)+\frac{1}{{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}^2}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}^2}+\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{z}^2}-<!--\; -\; -->\frac{1}{c^2}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{t}^2};$${\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial u}{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}};$ 

в общих криволинейных координатах (для пространства-времени):

$\mathrm{◻<!--\; ◻\; -->}u\equiv <!--\; \equiv \; -->\frac{1}{\sqrt{-<!--\; -\; -->g}}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}}\left(\sqrt{-<!--\; -\; -->g}{g}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}\right),$$\square u\equiv {\frac {1}{{\sqrt {-g}}}}{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}\left({\sqrt {-g}}\,g^{{\mu \nu }}{\frac {\partial u}{\partial x^{\mu }}}\right),$ 

где $g$$g$  — определитель матрицы $\Vert <!--\; \Vert \; -->g_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}\Vert <!--\; \Vert \; -->$$\|g_{{\mu \nu }}\|$ , составленный из коэффициентов метрического тензора $g_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}$$g_{\mu \nu }$ .

ЛитератураПравить

• Воднев В. Г., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Математический словарь высшей школы. — М.: Издательство МПИ, 1984.
• Савельев И. В. Курс общей физики. Том II.