Октаэдральное число

Октаэдральное число — разновидность многогранных фигурных чисел. Поскольку октаэдр можно рассматривать как две квадратные пирамиды, склеенные своими основаниями (см. рисунок), октаэдральное число определяется как сумма двух последовательных квадратных пирамидальных чисел^[1]:

146 магнитных шариков, образующие октаэдр

\text{[math]}

O_{n}=\Pi _{n-1}^{(4)}+\Pi _{n}^{(4)}

O_{n}=\Pi _{n-1}^{(4)}+\Pi _{n}^{(4)}

Общая формула^[2] для $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $n$ $n$ -го по порядку октаэдрального числа $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $O_{n}$ $O_{n}$ :

\text{[math]}

O_{n}={n(2n^{2}+1) \over 3}

O_{n}={n(2n^{2}+1) \over 3}

Первые из октаэдральных чисел (последовательность A005900 в OEIS):

\text{[math]}

1,6,19,44,85,146,231,344,489,670\dots

1,6,19,44,85,146,231,344,489,670\dots

Рекуррентная формула^[1]:

\text{[math]}

O_{n+1}=O_{n}+(n+1)^{2}+n;\quad O(1)=1

O_{n+1}=O_{n}+(n+1)^{2}+n;\quad O(1)=1

Производящая функция последовательности^[1]:

\text{[math]}

{\frac {x(x+1)^{2}}{(x-1)^{4}}}=\sum _{n=1}^{\infty }O_{n}x^{n}=x+6x^{2}+19x^{3}+\cdots ;\quad |x|<1

{\frac {x(x+1)^{2}}{(x-1)^{4}}}=\sum _{n=1}^{\infty }O_{n}x^{n}=x+6x^{2}+19x^{3}+\cdots ;\quad |x|<1

Связь с фигурными числами других типовПравить

Данное выше определение связало октаэдральные числа с квадратными пирамидальными. Связь с тетраэдральными числами $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\mathbb {T} _{n}$ :

\text{[math]}

O_{n}+4\mathbb {T} _{n-1}=\mathbb {T} _{2n-1}

Геометрически эта формула означает, что если наклеить по тетраэдру на четыре не смежные грани октаэдра, то получится тетраэдр удвоенного размера.

Ещё один вид связи^[1]:

\text{[math]}

O_{n}=\mathbb {T} _{n}+2\mathbb {T} _{n-1}+\mathbb {T} _{n-2}

Эта формула вытекает из определения и того факта, что квадратное пирамидальное число есть сумма двух тетраэдральных. Другое её истолкование: октаэдр может быть разделён на четыре тетраэдра, каждый из которых имеет две изначально смежные грани.

Связь с тетраэдральными и кубическими числами:

\text{[math]}

O_{n}+2\mathbb {T} _{n-1}=n^{3}

Разность двух последовательных октаэдральных чисел есть центрированное квадратное число^[1]:

\text{[math]}

O_{n+1}-O_{n}=C_{n+1}^{4}=(n+1)^{2}+n^{2}

Гипотеза ПоллокаПравить

В 1850 году британский математик-любитель, член Королевского общества сэр Джонатан Фредерик Поллок. выдвинул предположение^[3], что каждое натуральное число является суммой не более семи октаэдральных чисел. Гипотеза Поллока до сих пор не доказана и не опровергнута. Компьютерная проверка показала, что, скорее всего:

309 — самое большое число, которое требует ровно семь слагаемых;
11 579 — последнее число, требующее шесть слагаемых;
65 285 683 — последнее число, требующее пять слагаемых.

Если гипотеза Поллока верна, то доказано, что должны существовать сколь угодно большие числа, нуждающиеся в четырёх слагаемых^[4]^[5].

ПрименениеПравить

В химии октаэдрические числа могут использоваться, чтобы описать числа атомов в октаэдрических кластерах (см. «магические кластеры»)^[6]^[7].

ПримечанияПравить

↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ Деза Е., Деза М., 2016, с. 82—85.
↑ Conway, John Horton & Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, Springer-Verlag, с. 50, ISBN 978-0-387-97993-9 .
↑ Frederick Pollock. On the extension of the principle of Fermat's theorem on the polygonal numbers to the higher order of series whose ultimate differences are constant. With a new theorem proposed, applicable to all the orders (англ.) // Abstracts of the Papers Communicated to the Royal Society of London : journal. — 1850. — Vol. 5. — P. 922—924. — JSTOR 111069.
↑ Деза Е., Деза М., 2016, с. 239.
↑ Dickson, L. E. (2005), Diophantine Analysis, vol. 2, History of the Theory of Numbers, New York: Dover, с. 22–23, <https://books.google.com/books?id=eNjKEBLt_tQC&pg=PA22> Архивная копия от 21 ноября 2021 на Wayback Machine.
↑ Teo, Boon K. & Sloane, N. J. A. (1985), Magic numbers in polygonal and polyhedral clusters, Inorganic Chemistry Т. 24 (26): 4545–4558, doi:10.1021/ic00220a025, <http://www2.research.att.com/~njas/doc/magic1/magic1.pdf> Архивная копия от 13 марта 2012 на Wayback Machine.
↑ Feldheim, Daniel L. & Foss, Colby A. (2002), Metal nanoparticles: synthesis, characterization, and applications, CRC Press, с. 76, ISBN 978-0-8247-0604-3, <https://books.google.com/books?id=-u9tVYWfRcMC&pg=PA76> Архивная копия от 27 июня 2014 на Wayback Machine.

ЛитератураПравить

Деза Е., Деза М. Фигурные числа. — М.: МЦНМО, 2016. — 349 с. — ISBN 978-5-4439-2400-7.

СсылкиПравить

Weisstein, Eric W. Octahedral Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

[DD82-1] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ Деза Е., Деза М., 2016, с. 82—85.

[bon-2] Conway, John Horton & Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, Springer-Verlag, с. 50, ISBN 978-0-387-97993-9 .

[Pollock-3] Frederick Pollock. On the extension of the principle of Fermat's theorem on the polygonal numbers to the higher order of series whose ultimate differences are constant. With a new theorem proposed, applicable to all the orders (англ.) // Abstracts of the Papers Communicated to the Royal Society of London : journal. — 1850. — Vol. 5. — P. 922—924. — JSTOR 111069.

[_7673eaf0325ed17b-4] Деза Е., Деза М., 2016, с. 239.

[5] Dickson, L. E. (2005), Diophantine Analysis, vol. 2, History of the Theory of Numbers, New York: Dover, с. 22–23, <https://books.google.com/books?id=eNjKEBLt_tQC&pg=PA22> Архивная копия от 21 ноября 2021 на Wayback Machine.

[6] Teo, Boon K. & Sloane, N. J. A. (1985), Magic numbers in polygonal and polyhedral clusters, Inorganic Chemistry Т. 24 (26): 4545–4558, doi:10.1021/ic00220a025, <http://www2.research.att.com/~njas/doc/magic1/magic1.pdf> Архивная копия от 13 марта 2012 на Wayback Machine.

[nano-7] Feldheim, Daniel L. & Foss, Colby A. (2002), Metal nanoparticles: synthesis, characterization, and applications, CRC Press, с. 76, ISBN 978-0-8247-0604-3, <https://books.google.com/books?id=-u9tVYWfRcMC&pg=PA76> Архивная копия от 27 июня 2014 на Wayback Machine.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]