Соприкасающаяся окружность

Соприкаса́ющаяся окру́жность, окру́жность кривизны́ — окружность, являющаяся наилучшим приближением заданной кривой в окрестности данной точки. В этой точке кривая и означенная окружность имеют касание, порядок которого не ниже 2. Окружность кривизны существует в каждой точке дважды дифференцируемой кривой с отличной от нуля кривизной; в случае нулевой кривизны в качестве соприкасающейся надлежит рассматривать касательную прямую — «окружность бесконечного радиуса».

Соприкасающаяся окружность

Соприкасающаяся окружность (или прямая) в точке $P$$P$ кривой также может быть определена как предельное положение окружности (или прямой), проходящей через $P$$P$ и две близкие к ней точки $P_1,P_2$$P_{1},\ P_{2}$, когда $P_1,P_2$$P_{1},\ P_{2}$ стремятся к $P$$P$.

Связанные определенияПравить

• Центр соприкасающейся окружности называют центром кривизны, а радиус — радиусом кривизны. Радиус кривизны является величиной, обратной кривизне кривой в заданной точке:

  $r^{-<!--\; -\; -->1}=k$$r^{-1}=k$ 

• Геометрическое место центров кривизны кривой называется эволютой.

Координаты центра кривизныПравить

Центр кривизны функции $y=f(x)$$y=f(x)$  в точке $(x_0,f(x_0))$$(x_0, f(x_0))$  находится в следующей точке:

$(x_0-<!--\; -\; -->\frac{f^{\prime }(x_0)(1+(f^{\prime }(x_0){)}^2)}{f^{″}(x_0)},f(x_0)+\frac{1+(f^{\prime }(x_0){)}^2}{f^{″}(x_0)})$${\Bigg (}x_{0}-{\frac {f'(x_{0})(1+(f'(x_{0}))^{2})}{f''(x_{0})}},f(x_{0})+{\frac {1+(f'(x_{0}))^{2}}{f''(x_{0})}}{\Bigg )}$ 

СвойстваПравить

• Центр соприкасающейся окружности всегда лежит на главной нормали кривой; отсюда следует, что эта нормаль всегда направлена в сторону вогнутости кривой.
• Инверсия соприкасающейся окружности есть соприкасающеяся окружность инверсии кривой в соответствующей точке.
• В вершинах кривой и только в них порядок касания соприкасающейся окружности превосходит 2.
• Теорема Тэйта — Кнезера утверждает, что если кривизна гладкой плоской кривой монотонна, то соприкасающиеся окружности этой кривой вложены друг в друга.

ИсторияПравить

Понятие соприкасающейся окружности (лат. circulum osculans) было введено Лейбницем. Соответствующая геометрическая конструкция содержатся также в книге «Математические начала натуральной философии» Исаака Ньютона.

Вариации и обобщенияПравить

• Соприкасающаяся сфера пространственной кривой $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$$\gamma$  есть сфера ${\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}}_s$$\Sigma _{s}$  с центром в точке

  $p(s)=\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}(s)+\frac{1}{k(s)}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}(s)-<!--\; -\; -->\frac{k^{\prime }(s)}{k^2(s)\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\varkappa <!--\; \varkappa \; -->}(s)}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(s)$$p(s)=\gamma (s)+{\tfrac {1}{k(s)}}\cdot \nu (s)-{\tfrac {k'(s)}{k^{2}(s)\cdot \varkappa (s)}}\cdot \beta (s)$ 

проходящая через $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}(s)$$\gamma (s)$ . Здесь $k(s)$$k(s)$  и $\mathrm{\varkappa <!--\; \varkappa \; -->}(s)$$\varkappa (s)$  обозначают кривизну и кручение кривой, $\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$\tau$ , $\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}$$\nu$ , $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\beta$  — трёхгранник Френе.

• В случае если кривизна и кручение кривой отличны от нуля соприкасающаяся сфера определена и является единственной сферой, с которой кривая имеет степень соприкосновения хотя бы 3.