Теорема Лестера

Теорема Лестера — утверждение в геометрии треугольника, согласно которому в любом разностороннем треугольнике две точки Ферма, центр девяти точек и центр описанной окружности лежат на одной окружности (окружности Лестера). Названа именем канадского математика Джун Лестер (June Lester).

Точки Ферма $X_{13},X_{14}$$X_{13},X_{14}$, центр $X_5$$X_{5}$ окружности девяти точек (светло-голубой), и центр описанной окружности $X_3$$X_3$ зелёного треугольника лежат на окружности Лестера (чёрная).

ДоказательстваПравить

Доказательство Гильберта с помощью гиперболы КипертаПравить

Теорема об окружности Лестера вытекает из более общего утверждения Б. Гиберта (2000), а именно, что любая окружность, диаметр которой является хордой гиперболы Киперта треугольника и перпендикулярен его прямой Эйлера, проходит через точки Ферма.

Лемма Дао на прямоугольной гиперболеПравить

 

Теорема Дао о прямоугольной гиперболе

В 2014 году Дао Танх Оай (Đào Thanh Oai) показал, что результат Гиберта следует из свойств прямоугольных гипербол. А именно, пусть точки $H$$H$  и $G$$G$  лежат на одной ветви прямоугольной гиперболы $S$$S$ , а $F_{+}$$F_{+}$  и $F_{-<!--\; -\; -->}$$F_{-}$  — две точки на $S$$S$ , симметричные относительно её центра (точки-антиподы), в которых касательные прямые к $S$$S$  параллельны прямой $HG$$HG$ .

Пусть $K_{+}$$K_{+}$  и $K_{-<!--\; -\; -->}$$K_{-}$  — две точки на гиперболе, касательные прямые в которых пересекаются в точке $E$$E$  на прямой $HG$$HG$ . Если прямая $K_{+}{K}_{-<!--\; -\; -->}$$K_{+}K_{-}$  пересекает $HG$$HG$  в точке $D$$D$ , и перпендикуляр в середине отрезка $DE$$DE$  пересекает гиперболу в точках $G_{+}$$G_{+}$  и $G_{-<!--\; -\; -->}$$G_{-}$ , то шесть точек $F_{+},F_{-<!--\; -\; -->},E,F,G_{+},G_{-<!--\; -\; -->}$$F_{+},F_{-},E,F,G_{+},G_{-}$  лежат на одной окружности.

Чтобы получить теорему Лестера из этого результата, необходимо взять в качестве $S$$S$  гиперболу Киперта треугольника, в качестве точек $F_{+},F_{-<!--\; -\; -->}$$F_{+},F_{-}$  — точки Ферма, точками $K_{+},K_{-<!--\; -\; -->}$$K_{+},K_{-}$  будут внутренняя и внешняя точки Вектена, точками $H,G$$H,G$  будут ортоцентр и центроид треугольника.

См. такжеПравить

• Окружность Парри^[en]
• Точка Парри
• Точки Торричелли

ЛитератураПравить

• Clark Kimberling. Lester Circle // Mathematics Teacher. — 1996. — Т. 89, вып. 26.
• June A. Lester. Triangles III: Complex triangle functions // Aequationes Mathematicae. — 1997. — Т. 53. — С. 4–35.
• Michael Trott. Applying GroebnerBasis to Three Problems in Geometry // Mathematica in Education and Research. — 1997. — Т. 6. — С. 15–28.
• Ron Shail. A proof of Lester's Theorem // Mathematical Gazette. — 2001. — Т. 85. — С. 225–232.
• John Rigby. A simple proof of Lester's theorem // Mathematical Gazette. — 2003. — Т. 87. — С. 444–452.
• J.A. Scott. On the Lester circle and the Archimedean triangle // Mathematical Gazette. — Т. 89. — С. 498–500.
• Michael Duff. A short projective proof of Lester's theorem // Mathematical Gazette. — Т. 89. — С. 505–506.
• Stan Dolan. Man versus Computer // Mathematical Gazette. — Т. 91. — С. 469–480.

• Paul Yiu. The Circles of Lester, Evans, Parry, and Their Generalizations // Forum Geometricorum. — 2010. — Т. 10. — С. 175–209.

СсылкиПравить

• The Lester Circle Details of its discovery. (англ.)
• Lester Circle at MathWorld (англ.)
• Center of the Pohoata-Dao-Moses circles X(5607) and X(5608) (англ.)