Окружность Аполлония

Запрос «Окружности Аполлония» перенаправляется сюда; о фрактальной системе касающихся окружностей см. Сетка Аполлония.

Окружность Аполло́ния — геометрическое место точек плоскости, отношение расстояний от которых до двух заданных точек — величина постоянная, не равная единице.

$d_1/d_2$$d_{1}/d_{2}$ не зависит от $P$$P$.

Окружности Аполлония. Каждая голубая окружность пересекает каждую красную под прямым углом. Каждая красная окружность проходит через две точки (C и D), и каждая голубая окружность окружает только одну из этих точек

Биполярные координаты — ортогональная система координат на плоскости, основанная на кругах Аполлония.

ОпределениеПравить

Пусть на плоскости даны две точки $A$$A$  и $B$$B$ . Рассмотрим все точки $P$$P$  этой плоскости, для каждой из которых отношение

$k=\frac{PA}{PB}$$k={\frac {PA}{PB}}$ 

есть фиксированное положительное число. При $k=1$$k=1$  эти точки заполняют срединный перпендикуляр к отрезку $AB$$AB$ ; в остальных случаях указанное геометрическое место — окружность, называемая окружностью Аполлония.

ЗамечанияПравить

• Точки $A$$A$  и $B$$B$  называются фокусами окружности Аполлония.

СвойстваПравить

• Радиус окружности Аполлония равен $R=\frac{k}{|k^2-<!--\; -\; -->1|}\cdot <!--\; \cdot \; -->AB.$$R={\frac {k}{|k^{2}-1|}}\cdot AB.$ 
• Отрезок $PC$$PC$  между точкой на окружности и точкой пересечения окружности с прямой $AB$$AB$  является биссектрисой самого угла $\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}APB$$\angle APB$  или угла, смежного с ним.
• Инверсия относительно окружности Аполлония меняет точки $A$$A$  и $B$$B$  местами.
• Центр данной окружности лежит на прямой, соединяющей эти две точки.

О доказательствахПравить

• Одно из доказательств основано на свойстве внутренней и внешней биссектрисы треугольника, а именно то что биссектриса делит противоположную сторону в отношении пропорциональном прилежащим к ней сторонам.
• Существует доказательство, основанное на свойстве инверсии.
• Также существует довольно простое доказательство прямым подсчётом в координатах.

ПриложенияПравить

• Часто используется в анализе построений с помощью циркуля и линейки. В частности одно из решений задачи Брахмагупты основано на построении окружности Аполлония.

• Окружность Аполлония находит применение при решении задачи сближения на плоскости с использованием стратегии параллельного сближения.

См. такжеПравить

• Эллиптические координаты

• Похоже определяемые кривые
  • Гипербола — кривая постоянной разности расстояний между фокусами;
  • Эллипс — кривая постоянной суммы расстояний между фокусами;
  • овал Кассини — кривая постоянного произведения расстояний между фокусами.