Односторонняя функция сжатия

Односторонняя функция сжатия в криптографии — функция, которая образует значение длиной $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $n$ $n$ на выходе при задании двух входных значений длиной $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $n$ $n$ ^[1]. Одностороннее преобразование означает, что легко вычислить значение хеш-функции по прообразу, но трудно создать прообраз, значение хеш-функции которого равно заданной величине^[2]^[3].

Односторонняя функция сжатия используется, например, в структуре Меркла — Дамгора внутри криптографических хеш-функций.

Односторонние функции сжатия часто построены из блочных шифров. Для того, чтобы превратить любой стандартный блочный шифр в одностороннюю функцию сжатия существуют схемы Дэвиса — Мейера, Матиса — Мейера — Осеаса, Миагути — Пренеля (функции сжатия одноблочной длины)^[4].

Функция сжатияПравить

Функции сжатия представляют собой функции, которые получают на вход строку переменной длины и преобразуют её в строку фиксированной, обычно меньшей, длины.

Например, если вход А имеет длину в 128 бит, вход B в 128 бит, и они сжаты вместе в один выход в 128 бит. Это то же самое, как если бы один-единственный 256-битовый вход сжимался вместе в один выход в 128 бит.

Некоторые функции сжатия имеют различный размер двух входов, но выход, как правило, имеет такой же размер, как и один из входов. Например, вход А может быть 256 бит, вход B 128 бит, и они сжаты вместе с одним выходом в 128 бит. То есть, в общей сложности 384 входных битов сжимаются вместе до 128 выходных битов.^[5]

Таким образом, смешивание выполняется за счет достижения лавинного эффекта.То есть, каждый выходной бит зависит от каждого входного бита.^[6]

Односторонняя функцияПравить

Функция сжатия в одну сторону должна обладать следующими свойствами:

Стойкость к поиску первого прообраза — отсутствие эффективного полиномиального алгоритма вычисления обратной функции, то есть нельзя восстановить текст $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $m$ по известной его свертке $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $H(m)$ за реальное время (необратимость). Это свойство эквивалентно тому, что хеш-функция является односторонней функцией.
Стойкость к поиску второго прообраза (коллизиям первого рода). Зная входное сообщение $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $m_{1}$ и его свёртку $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $H(m_{1})$ , вычислительно невозможно найти другой вход $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $m_{2}$ , чтобы $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $H(m_{1})=H(m_{2})$ .
Стойкость к коллизиям (коллизиям второго рода). Должно быть вычислительно невозможно подобрать пару сообщений $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $m_{1}$ и $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $m_{2}$ , что $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $H(m_{1})=H(m_{2})$ .^[7]

Сведём задачу криптоанализа хеш-функций к задаче поиска коллизии: сколько сообщений надо просмотреть, чтобы найти сообщения с двумя одинаковыми хешами.

Вероятность встретить одинаковые хеши для сообщений из двух разных наборов, содержащих $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $n_{1}$ и $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $n_{2}$ текстов, равна $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $P\thickapprox 1-e^{-{\frac {n_{1}\cdot n_{2}}{2^{l}}}}$ . Если $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $n_{1}=n_{2}=2^{l/2}$ , то вероятность успеха атаки $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $P\thickapprox 1-e^{-1}\thickapprox 0,63$ , а сложность проведения атаки $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $2^{l/2+1}$ операций.

Чтобы найти коллизию, надо сгенерировать два псевдослучайных множества сообщений (в каждом множестве $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $2^{n/2}$ сообщений) и найти для них хеши. Тогда, согласно парадоксу дней рождения (см. также атака «дней рождения»), вероятность того, что среди них найдется пара сообщений с одинаковыми хешами, больше 0,5. Атака требует большого объёма памяти для хранения текстов и эффективных методов сортировки.^[8]

Структура Меркла — ДамгораПравить

Структура Меркла — Дамгора, где IV — начальное значение свертки (фиксированный вектор),

\text{[math]}

f

— функция сжатия.

Суть конструкции заключается в итеративном процессе последовательных преобразований, когда на вход каждой итерации поступает блок исходного текста и выход предыдущей итерации^[9].

Наиболее широко используются хеш-функции, основанные на этой конструкции в MD5, SHA-1 и SHA-2.

Хеш-функция должна преобразовывать входное сообщение произвольной длины в выходное фиксированной длины. Это может быть достигнуто путём разбиения входного сообщения на ряд одинаковых по размеру блоков, и их последовательной обработки односторонней функцией сжатия. Функция сжатия может быть либо специально разработана для хеширования, либо представлять собой функцию блочного шифрования.

Атака нахождения второго прообраза (учитывая сообщение $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $m_{1}$ , злоумышленник находит ещё одно сообщение $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $m_{2}$ , чтобы удовлетворить $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $H(m_{1})=H(m_{2})$ ) может быть выполнена в соответствии с Килси и Шнайером, для сообщения из 2^k блоков может быть выполнена за время k × 2^n/2+1 + 2^n-k+1. Важно отметить, если сообщения длинные, то сложность атаки находится между 2^n/2 и 2ⁿ, а когда длина сообщения становится меньше, сложность приближается к 2ⁿ.^[10]

Роль функции сжатия может осуществлять любой блочный шифр E. Данная идея легла в основу развития конструкции Меркла — Дамгора в схемах Дэвиса — Мейера, Матиса — Мейера — Осеаса, Миагути — Пренеля^[11].

Структура Дэвиса — МейераПравить

Схема Дэвиса — Мейера

В данной схеме блок сообщения $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $m_{i}$ и предыдущее значение хеш-функции $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $H_{i-1}$ поступают в качестве ключа и блока открытого текста соответственно на вход блочного шифра $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $E$ . Получившийся в результате шифрования блок закрытого текста суммируется (операция XOR) с результатом предыдущей итерации хеширования ( $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $H_{i-1}$ ) для получения следующего значения хеш-функции ( $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $H_{i}$ ).^[11]

В математических обозначениях схему Дэвиса — Мейера можно записать как:

\text{[math]}

H_{i}=E_{m_{i}}{(H_{i-1})}\oplus {H_{i-1}}.

Если блочный шифр использует, например, 256-битный ключ, то каждый блок сообщений ( $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $m_{i}$ ) представляет собой 256-битный фрагмент сообщения. Если же блочный шифр использует размер блока в 128 бит, то входные и выходные значения хеш-функции в каждом раунде составляют 128 бит.

Важным свойством конструкции Дэвиса — Мейера является то, что даже если базовый блок шифрования является полностью безопасным, можно вычислить неподвижные точки для построения: для любого $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $m$ можно найти значение $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $h$ такое что $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $E_{m}(h)\oplus h=h$ : просто нужно установить $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $h=E_{m}^{-1}(0)$ .^[12]

Безопасность структуры Дэвиса — Мейера была впервые доказана Винтерницом^[13].

Структура Матиса — Мейера — ОсеасаПравить

Схема Матиса-Мейера-Осеаса

Это версия схемы Девиса — Мейера: блоки сообщения применяются как ключи криптосистемы. Схема может быть использована, если блоки данных и ключ шифрования имеют один и тот же размер. Например, AES хорошо подходит для этой цели.

В данной конструкции блок сообщения $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $m_{i}$ и предыдущее значение хеш-функции $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $H_{i-1}$ поступают в качестве ключа и блока открытого текста соответственно на вход блочного шифра $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $E$ . Но уже значение $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $H_{i-1}$ подвергается предварительной обработке функцией $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $g$ из-за возможных различий в размерах хеш-суммы и размере ключа шифра $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $E$ . Эта функция реализует отображение n-битного значения хеш- функции в k-битный ключ шифра $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $E$ . В результате применения операции шифрования, получается блок закрытого текста, который суммируется с соответствующим ему блоком открытого текста ( $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $m_{i}$ ).^[14]

В математических обозначениях схему Матиса — Мейера — Осеаса можно записать как:

\text{[math]}

H_{i}=E_{g(H_{i-1})}(m_{i})\oplus m_{i}.

Структура Миагути — ПренеляПравить

Схема Миагучи-Пренеля

Схема Миагути — Пренеля — расширенная версия схемы Матиса — Мейера — Осеаса. Отличие в том, что блок закрытого текста суммируется не только с соответствующим ему блоком открытого текста ( $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $m_{i}$ ), но и с результатом предыдущей итерации хеширования ( $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $H_{i-1}$ ). Чтобы сделать алгоритм более устойчивым к атаке, исходный текст, ключ шифра и зашифрованный текст складываются с помощью операции XOR и создают новый дайджест. Эта схема используется в Whirlpool для создания хеш-функции. Результат суммирования $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $H_{i}$ определяется уравнением^[15]:

\text{[math]}

H_{i}=E_{g(H_{i-1})}(m_{i})\oplus H_{i-1}\oplus m_{i}.

ПримечанияПравить

↑ Handbook of Applied Cryptography by Alfred J. Menezes, Paul C. van Oorschot, Scott A. Vanstone. Fifth Printing, August 2001.
↑ Брюс Шнайер, 2006, pp. 37—38.
↑ В.В.Ященко, 1999, p. 30.
↑ Авезова, 2015, p. 60.
↑ С.Баричев, Р.Серов, 2001, pp. 106—108.
↑ А.В. Антонов, 2012, pp. 106—107.
↑ С.В.Дубров, 2012, p. 65.
↑ С.В.Дубров, 2012, pp. 66—67.
↑ Авезова, 2015, pp. 60—61.
↑ Kelsey, Schneier, 2005, pp. 474—490.
↑ ¹ ² Авезова, 2015, p. 61.
↑ Handbook of Applied Cryptography by Alfred J. Menezes, Paul C. van Oorschot, Scott A. Vanstone. Fifth Printing, August 2001, p. 375.
↑ Winternitz, 1984, pp. 88—90.
↑ Авезова, 2015, pp. 61—62.
↑ Авезова, 2015, p. 62.

ЛитератураПравить

КнигиПравить

Alfred J. Menezes, Paul C. van Oorschot, Scott A. Vanstone. Chapter 9 // Hash Functions and Data Integrity. — 5-e изд. — August 2001. — С. 328.
Брюс Шнайер. Прикладная криптография. — 2-e изд. — 2006. — С. 37—38. — 610 с.
В.В.Ященко. Введение в криптографию. — 1999. — С. 30. — 271 с.
С.Баричев, Р.Серов. Основы современной криптографии. — Москва, 2001. — С. 106—108. — 122 с.
С.В.Дубров. Основы современной криптографии. — Новосибирск, 2012. — С. 65—67. — 260 с.
John Kelsey and Bruce Schneier. Second preimages on n-bit hash functions for much less than 2n work. — 2005. — С. 474–490.
R. Winternitz. A secure one-way hash function built from DES. — IEEE Press, 1984. — С. 88—90.

Научные статьиПравить

Авезова Яна Эдуардовна. Современные подходы к построению хеш-функций на примере финалистов конкурса sha-3. — Москва, 2015.
А. В. Антонов. [www.hups.mil.gov.ua/periodic-app/article/1988/soivt_2012_2_23.pdf Развитие метода построения хеш-функции]. — Харьков, 2012.

[_6e8afacc39d6c03a-1] Handbook of Applied Cryptography by Alfred J. Menezes, Paul C. van Oorschot, Scott A. Vanstone. Fifth Printing, August 2001.

[_6d578b99171d74d9-2] Брюс Шнайер, 2006, pp. 37—38.

[_2c77b861826fe91b-3] В.В.Ященко, 1999, p. 30.

[_dc309fb952bfc57f-4] Авезова, 2015, p. 60.

[_8caf175febbdf06f-5] С.Баричев, Р.Серов, 2001, pp. 106—108.

[_3dd9d2c1e976019e-6] А.В. Антонов, 2012, pp. 106—107.

[_8c73eacd1c2ff1f2-7] С.В.Дубров, 2012, p. 65.

[_3b3f045831a094b4-8] С.В.Дубров, 2012, pp. 66—67.

[_d0d90239b58bd57c-9] Авезова, 2015, pp. 60—61.

[_6d478a8fa80364f8-10] Kelsey, Schneier, 2005, pp. 474—490.

[_dc309fb952bfc57e-11] ¹ ² Авезова, 2015, p. 61.

[_2021349612098005-12] Handbook of Applied Cryptography by Alfred J. Menezes, Paul C. van Oorschot, Scott A. Vanstone. Fifth Printing, August 2001, p. 375.

[_8b6e809063142a6a-13] Winternitz, 1984, pp. 88—90.

[_e56ae37417b9a384-14] Авезова, 2015, pp. 61—62.

[_dc309fb952bfc57d-15] Авезова, 2015, p. 62.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]