Ограниченность

Ограниченность в математике — свойство множеств, указывающее на конечность размера в контексте, определяемом категорией пространства.

Исходное понятие — ограниченное числовое множество, таковым является множество вещественных чисел $B\subset <!--\; \subset \; -->\mathbb{R}$$B\subset \mathbb {R}$, для которого существуют числа $m,M\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}$$m,M\in \mathbb {R}$ такие, что для любого $x$$x$ из $B$$B$ имеет место: $m⩽<!--\; ⩽\; -->x⩽<!--\; ⩽\; -->M$$m\leqslant x\leqslant M$, иными словами, $B$$B$ целиком лежит в отрезке $[m,M]$$[m,M]$. Числа $m$$m$ и $M$$M$ называются в этом случае нижней и верхней границей множества $X$$X$ соответственно. Если существует только нижняя или верхняя граница, то говорят об ограниченном снизу или ограниченном сверху множестве соответственно.

Ограниченное сверху числовое множество обладает точной верхней гранью, ограниченное снизу — точной нижней гранью (теорема о гранях). Конечное множество точек, интервал числовой оси $[a,b]$$[a,b]$ (где $a,b$$a,b$ — конечные числа), конечное объединение ограниченных множеств — ограниченные множества; множество целых чисел $\mathbb{Z}$$\mathbb {Z}$ — неограниченно; множество $\mathbb{N}$$\mathbb {N}$ натуральных чисел с точки зрения системы вещественных чисел — ограниченно снизу и неограниченно сверху.

Ограниченная числовая функция — функция $f:<!--\; :\; -->D\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$f\colon D\to \mathbb {R}$, область значений которой $f(D)$$f(D)$ ограниченна, то есть существует такое $m$$m$, что для всех $x$$x$ имеет место неравенство $|f(x)|⩽<!--\; ⩽\; -->m$$|f(x)|\leqslant m$. В частности, ограниченная числовая последовательность — последовательность $(a_i)$$(a_{i})$, для которой существует $m\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}$$m\in \mathbb {R}$ такое, что для всех $i\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}$$i \in \N$ выполнено $|a_i|⩽<!--\; ⩽\; -->m$$|a_{i}|\leqslant m$.

ОбобщенияПравить

Обобщения числовой ограниченности на более общие категории пространств могут различаться. Так, на подмножества произвольных частично упорядоченных множествах числовое определение переносится естественным образом (поскольку для определения требуется только отношение порядка).

В топологическом векторном пространстве $E$$E$  над полем $k$$k$  ограниченным считается всякое множество $B$$B$ , поглощаемое любой окрестностью нуля, то есть если существует такое $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\in <!--\; \in \; -->k$$\alpha \in k$ , что $B\subset <!--\; \subset \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}{U}_0$$B\subset \alpha U_{0}$ . Ограниченный оператор на топологических векторных пространствах переводит ограниченные множества в ограниченные.

В случае произвольного метрического пространства $(M,d)$$(M,d)$  ограниченными считаются множества конечного диаметра, то есть $B\subseteq <!--\; \subseteq \; -->M$$B\subseteq M$  ограниченно, если $\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{d(x,y)\mid <!--\; \mid \; -->x,y\in <!--\; \in \; -->B\}$$\mathrm {sup} \{d(x,y)\mid {x,y\in B}\}$  конечно. При этом ввести понятия ограниченности сверху и снизу в общих метрических пространствах невозможно.

Более специальное понятие, распространяющееся на произвольные метрические пространства — вполне ограниченность; в случае числовых множеств и в евклидовых пространствах это понятие совпадает с соответствующими понятиями ограниченного множества. В метрических пространствах топологическая компактность эквивалентна одновременной вполне ограниченности и полноте, и, хотя на произвольные топологические пространства понятие ограниченности не распространяется, компактность в общем случае можно считать некоторым аналогом ограниченности.

ЛитератураПравить

• Ограниченное множество — статья из Математической энциклопедии. М. И. Войцеховский